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《探究化归与转化思想在高中数学中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、探究化归与转化思想在高中数学中的应用在高中数学教学中，我们时常会遇到这样一些问题，若要直接解决会较为困难，若通过问题的转化，归类就会使问题变得简单。这类问题的解决方法就是解决数学问题的重要思想方法之——化归和转化的思想方法。数学中的化归与转化思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法。化归与转化的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决。在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为
2、简单的，熟悉的问题而得到解决。因此，我们化归的方向应该是由未知到已知，由难到易，由繁到简。世界数学大师波利亚强调：“不断的变换你的问题”“我们必须一再变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”，他认为解题的过程就是“转化”，的过程。因此，“转化”是解数学题的重要思想方法之一。由于转化具有多向性，层次性和重复性的特点，为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微
3、观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。在高考中，转化与化归思想占有相当重要的地位，掌握好化归与转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。下面谈谈化归与转化思想在高中数学应用中主要涉及的基本类型。1、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。例1、已知函数在（0，1）内至少有一个零点，试求实数的取值范围。分析：至少有一
4、个零点的情况比较复杂，而其反面为没有零点，比较容易处理。解：（法一）当函数在（0，1）内没有零点时在（0，1）内没有实数根，即在（0，1）内，.而当（0，1）时，，得。要使，必有故满足题设的实数的取值范围是（法二）设，对称轴为，注意到，故对称轴必须在轴的右侧。(1)当时，即，有，此时；(2)当时，有此时有。-14-综合（1）（2）得实数的取值范围是点评：运用法二直接求解时，要有较强的数形结合能力，分类讨论能力和较强的洞察力（注意到有一定的难度；若转为先考虑它的反面情形（法一），则解题目标与思路会变得更集中与明确。“正难则反”有时会给我们的解题带来意想不到的妙处。2、
5、常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数（或参数），将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的。例1、已知曲线系的方程为,试证明:坐标平面内任一点(,在中总存在一椭圆和一双曲线过该点.分析：若从曲线的角度去考虑,即以x,y为主元,思维受阻.若从k来考虑,不难看出,当表示的曲线分别为椭圆和双曲线,问题归结为证明在区间和(4,9)内分别存在k值,使曲线过点(a,b).解：设点()在曲线上,则整理得①可知f(k)=0,根据函数图象开口向上,可知方程①在和(4,9)内分别有一根,即对平面内任一点(a,b),在曲线系中总
6、存在一椭圆和一双曲线通过该点.点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题转化为视变量为主元的方程的根的问题,降低了难度,这种方法在解析几何中用的较普通。3、特殊与一般的转化一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的规律。这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现。例2、已知向量，若，满足，则的面积等于。分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由条件可得。利用特殊值，如设代入，则，故面积为1。-14-例4、已知函数,求的值.分析:直接代入计算较为复杂,可寻求f(x)与f(1-x)的关系.解:===于是==点评：一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单。
7、特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果。3、等与不等的转化相等于不等是数学解题中矛盾的两方面，但是它们在一定的条件下可以互相转化，例如有些题目，表面看来似乎只具有相等的数量关系，根据这些相等关系又难以解决问题，但若能挖掘其中的不等关系，建立不等式（组）去转化，往往能获得简捷求解的效果。例5、已知都是实数，且求证：。分析：利用均值不等式先得到一个不等关系，再结合已知中的相等关系寻求与之间的关系。解：，。又，且即。点评：利用等与不等之间的辩证关系，相互转化，往往可以使问题得到有效解决。4、数与形的转化许多数量关系的
