浅谈函数定义域的类型与求1

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1、浅谈求函数定义域的方法谷城县第二中学洪旭论文导读：定义域、值域、对应关系是函数的三要素，其中函数的定义域是函数三要素的关键，函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围。关键词：函数，定义域　　函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是函数三要素之关键，特别是函数性质必须从定义域出发,它在解决和研究函数最值、奇偶性、周期、方程、不等式等问题中起着十分重要的作用。函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。本文介绍求函数定义域的类型和求法，目的在于使学生全面认识定义域，深刻理解

2、定义域，正确求函数的定义域，在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，树立起“定义域优先”的观点，对提高学生的数学思维的培养是十分有益的。一、常规类型　　给出函数的解析式求定义域，它的解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域，一般原则是：　　①如果为整式，其定义域为R;　　②如果为分式，其定义域是使分母不为0的实数集合；　　③如果是二次根式（偶次根式），其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；　　④如果是基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数、无理函数等），掌握其函数定义域

3、。　　⑤如果是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；　　⑥f(x)=的定义域是;例1：求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由①解得或。③由②解得或④③和④求交集得且或x>5。故所求函数的定义域为　　二、实际问题型在实际问题中函数的定义域除满足解析式外，还要考虑实际意义,在实际问题中定义域受实际意义的制约，否则所求函数关系式可能是错误。如：例2：将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x，对角线为d，截面的面积为S，求面积S以x为自变量的函数关系式？解

4、：设截面的一条边长为x，对角线为d，另一条边为，由题意得：S=x故函数解析式为：S=x如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量取负数或取不小于d的数时，S的值即截面的面积A为负数或被开方数为负数无意义，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：即：函数关系式为：S=x（）这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的

5、严密性。三、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况:　　（1）已知的定义域，求的定义域。　　它的解法是：若已知的定义域是［a，b］，则求的定义域是解，即为所求的定义域。　　例3：已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。　　解：令，　　得，即，　　因此，从而，　　故所求函数的定义域是　　（2）已知的定义域，求f(x)的定义域。它的解法是：若已知的定义域是［a，b］，则求f(x)定义域的方法是：由，求g(x)的值域，即为所求f(x)的定义域。

6、　　例4：已知的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。　　解：∵1x2,　　∴22x4　　∴32x+15　　故函数f(x)的定义域是　　评述：例3和例4是互为逆向的，解这类题的关键在于搞清复合函数的自变量问题，抓住已知条件，从而得到要求函数的未知数。　　例5：已知函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3], 求y=f(2x-1)的定义域。　　解：∵函数y=f(x+1)的的定义域是[-2,3],　　∴-2x3,∴-1x+14,　　∴定义域[-1,4]。　　再由-12x-14,得　　故y=f(2x-1)的定义域是。　　四、逆向求解型　已

7、知函数的解析式并给出其定义域，需要求出所给函数解析式中参数的取值范围。特别是已知函数定义域为R，求参数的范围问题，通常需要转化为恒成立的问题来解决。　　例6：已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须使≠0恒成立，因为的定义域为R，即无实根①当k≠0时，恒成立，解得；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。综上所述，k的取值范围是。评述：不少学生容易忽略k=0的情况，希望通过这个例题提醒学生注意。例7：已知函数y=的定义域是R，求实数m的取值范围。　　分析：函数的定义域为R，表明，对一切x∈R都成立，由于项的系数

8、是m，所以应分或进行讨论。解：当时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是，解得综上所述，所求实数m的取值范围是。 　　五、隐藏其中型函数的单调区间是其定义域的子集，从表面上