从GSP看动态几何之美探讨正方形完美割术

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1、高雄區96年度國中資優教育學生獨立研究成果發表競賽作品說明書科別:數學科作品名稱:從GSP看動態幾何之美---探討正方形完美切割術Cab編號:A0021壹、摘要一、研究動機:數學老師在課堂上用GSP動態幾何軟體，秀出『商高定理222abc+=』的正方形拼圖，讓我們對圖形的拆解組合，產生高度的興趣。二、研究目的:1.研究商高定理(斜邊長平方等於兩股長的平方和)的正方形切割拼圖法,分析它的組合原理。2.從圖形的組合規律中探討無理數的存在。三、研究過程與方法:1.仔細觀察GSP繪圖下呈現的切割圖形變化。2.分析222abc+=分割圖形組合的原理與證明

2、。3.運用此『『切對角線』的面積重組法』延伸探討—研究兩組方格子數p、q面積合併後之分割情形。4.由歐幾里得著『幾何原本』引進商高定理的證明，比較本主題之研究。四、研究結果:如內容五、結論：1.對於商高定理222abc+=的「GSP動態分割圖」，利用『綜合證題法—全等△性質』得到證明。圖中，由兩組Δ的拆解，根據斜股性質知ΔABC≅ΔKBL，ΔAJH≅ΔKPH，則商高定理222abc+=即可成立。2.將兩組p、q個的方格子合併，引用GSP動態分割的『切對角線』面積重組法，則可以拼出一個正方形的條件是（1）若p、q皆為平方數，則可改拼成一個『正方形

3、』，每邊長為p+q。（2）若p、q為有一為非平方數，則無法拼成一個『正方形』，但可拼成其他的四邊形。3.從兩組格子數p、q(平方數)的組合拼圖，可拼成一正方形其邊長為p+q，則可清楚說明『無理數』的存在，例如：2、5、8、10、13、17、18、20、26、29、32、34、37、40、41、45、50、52、53、58、61、65、68、72、73、74、80、82、85、89、90、97、98、、。4.本研究的『對角線切割面積方法』與歐幾里得著『幾何原本』對商高定理的證明，頗有異曲同工之妙；讓我們體會到數學領域中，幾何與代數之間充滿著唯妙的

4、關係。2貳、研究動機數學老師在課堂上用GSP動態幾何軟體，秀出『商高定理222abc+=』的正方形拼圖(如圖一)，讓我們對圖形的拆解組合，產生高度的興趣。Cab圖一參、研究目的1.研究商高定理(斜邊長平方等於兩股長的平方和)的正方形切割拼圖法,分析它的組合原理。2.從圖形的組合規律中探討無理數的存在。肆、研究設備器材1.使用GSP4.06版繪圖軟體2.電腦及週邊設備伍、研究過程1.仔細觀察GSP繪圖下呈現的切割圖形變化：3a=b時a>b時Cab圖二圖三GSP操作法：將b邊長固定，我們嘗試將a邊長做縮放動作。我們發現：兩股邊上的正方形面積，可以恰

5、好切割成好幾塊圖形，最後完整的覆蓋在「斜邊上的正方形」上面（如圖二），另外在動態變化觀察下，讓我們找到分割圖形的切入點（如圖三），並做進一步的分析。2.分割圖形的組合分析與證明4KNMEBLPHQDCAIJGF圖四【證明】從上述的動態分割圖中，我們看到：正方形BCDE＝正方形BCIL，且正方形ACGF＝正方形PIJH。故知只要ΔABC≅ΔKBL，ΔAJH≅ΔKPH，則商高定理222abc+=即可成立。茲證明：ΔABC≅ΔKBL，ΔAJH≅ΔKPH在兩個直角三角形ΔABC與ΔKBL中，ABB==KB,CBL，∴ΔABC≅ΔKBL（斜股性質）同理，

6、在兩個直角三角形ΔAJH與ΔKPH中，AHK==HP,HHJ，∴ΔAJH≅ΔKPH（斜股性質）4.延伸探討---換一個角度思考由於以上的圖形無從計算它們的面積，於是我們將所有圖形繪在格子紙上面研究，應用前述所發現的『切對角線』的面積重組法。我們發現如下：5面積＝1+1＝2面積＝1+4＝5面積＝1+9＝10可以切割圖形如下：正方形邊長＝2正方形邊長＝5正方形邊長＝10動態觀察，分析如下：222222222因為112(2+==)，125(5+==)，131+==0(10)，……………於是，我們發現一個找尋「無理數」存在的簡單方法。5.對『切對角線』

7、的面積重組法，我們仍然產生一個疑問？【問題】是否任何兩組的方格子數p、q合併，皆能有這樣的『巧妙』切割重組，而可以拼出一個正方形，且邊長是一個「無理數」？6222【結果一】雖然1+2＝3＝(3)，1+5=2+4＝6＝(6)，1+6＝2+5＝3+4＝(7)，221+8＝2+7＝3+6＝4+5＝9＝3，2+9=3+8=4+7=5+6=11＝(11)，………………………………以上方格子圖都無法拼成一個正方形，但是他們有其他的分割重組方式，如下所示：圖五在圖五，1+2＝3的分割重組方式，可以改拼成一個『平行四邊形』，其四邊長為2、5、2、5。圖六在圖六

8、，1+2＝3的分割重組方式，可以改拼成一個『鳶形』，其四邊長為2、2、5、5。【結果二】如果p、q是兩平方數的組合，我們發現都能有這樣的『巧妙』切割重