最终论文3副本

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1、泰勒公式以及应用摘要泰勒公式是微积分学中的重要内容，它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系。利用泰勒公式可以很好的解决某些问题，使问题化繁为简。首先，本文给出了带有各种余项的泰勒公式以及证明，其次，从一元函数的微分出发，引出一元函数及二元函数的高阶微分，以微分形式给出一元函数及二元函数的泰勒公式，以及介绍在相同条件下泰勒公式的另一种形式的推广。再次，致力于研究时间标度上二元函数的链式法则，以其在最优控制上有广泛的应用.同时，对一元函数的泰勒公式给出一种新的较为简单的证明方法。最后，本文举例介绍了泰勒公式在近

2、似计算、极限运算、不等式的证明、判断函数极值、判定二元函数极限存在性、求高阶导数在某些点的数值、讨论级数与广义积分的敛散性判断、关于界的估计、计算n阶行列式、判断方程根的唯一存在性等方面的具体应用。关键词：泰勒公式；微积分；函数极限；级数敛散性目录1.绪论2.泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式一元函数的泰勒公式2.1.1带有Lagrange型余项的泰勒公式2.1.2带有Peano型余项的泰勒公式2.1.3带有Cauchy型余项的泰勒公式2.1.4带有重积分型余项的泰勒公式及其证明2.2高阶微分与泰勒公式多以函数的泰勒

3、公式2.2.1二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.2.2二元函数的高阶微分与n阶泰勒公式2.3泰勒公式的另一种形式泰勒公式的其他种形式2.4时间标度上的泰勒公式及链式法则2.4.1时标下的全△可微的概念的引人2.4.2泰勒公式及其证明2.4.3二元函数的链式法则3.泰勒公式的应用3.1泰勒公式求某些未定式的极限3.2多项式的泰勒展开式的应用3.3泰勒公式在近似计算中的应用3.4利用中值定理和泰勒公式证明函数极限3.5泰勒公式证明不等式3.6泰勒公式在判定二元函数极限存在性中的应用3.7泰勒公式在n阶行列式计算中的应用3.

4、8泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用3.9泰勒公式关于界的估计3.10判断方程根的唯一存在性问题3.11用泰勒公式研究函数凹凸性的一种再拓广4.结论5.参考文献致谢1.绪论1.1前言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，他将一个复杂的函数近似的表示成简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究数学问题的有力杠杆。通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量习题，并参考了相应的参考文献，对这些应用方法做了系统的归纳总结，并配有大量例题证明。为了写好文章我着重查阅参考了高等教育出版社出版高尚华编写的《数学分析》，

5、这本书给出了泰勒（Taylor）定理的具体定义。本文主要介绍了泰勒公式以及他的应用，使我们对泰勒公式有更深一层的理解，怎样利用泰勒公式解题有了更深一层的认识。只要在解题中加以分析，研究题设条件及其形式特点，就能较好的掌握泰勒公式解题技巧。泰勒公式是高等数学中非常重要的内容。在微分学和积分学中，泰勒公式是解决问题的基本方法。同时他是研究积分和微分的一个重要纽带。所以国内外对它都有一定的研究。在国外，泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家

6、）信中首先提出的定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量,及为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者。泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理问题之应用，其中以有关

7、弦的横向振动之结果尤为重要。他透过求解方程导出了基本频率公式，开创了研究弦震问题之先河。此外，此书还包括了他于数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率问题之研究等。2.泰勒公式2.1带有各种型余项的泰勒公式一元函数的泰勒公式2.1.1带有Lagrange型余项的泰勒公式（2.2拉格朗日定理证明泰勒公式(18)）泰勒定理：若函数在上存在直至n阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点使得其中。。。。。。（1）（7）证作辅助函数所要证明的（7）式即为或不妨设，则在与在上连续，在内可导，且又因

8、所以由柯西中值定理证得其中（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为称为拉格朗日余项。所以（7）式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式。2.1.2带有Peano型余项的泰勒公式定理:若函数在点存在之至n阶导数,则有即(4)证设现在只要证由关系式(3)可知,并易知因为存在,所以在点的某邻域内存在阶导函数于是,当且时,允许接连使用