几何最值及路经长（讲义及答案）

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1、扫一扫看视频对答案几何最值及路径长（讲义）Ø课前预习1.如图，A，B为定点，P为直线l上一动点，若点P恰好使AP+BP最短，请画出点P的位置．提示：①分析定点（A，B），动点（P在直线l上动），不变特征②以l为对称轴利用轴对称进行转化③由“两点之间，线段最短”确定位置2.如图，A，B为定点，MN为直线l上一可以移动的线段，且MN长度固定，若点M恰好使AM+MN+BN最短，请画出点M的位置．提示：①分析定点（A，B），动点（M，N在l上动，且MN长度固定），不变特征②先平移BN，使平移后的点N与M重合，将其转化为问题1③以l

2、为对称轴，利用轴对称进行转化④由“两点之间，线段最短”确定位置3.如图，∠AOB=60°，点P在∠AOB的平分线上，OP=10cm，点E，F分别是∠AOB两边OA，OB上的动点，当△PEF的周长最小时，点P到EF的距离是_________．提示：①分析定点（P），动点（E在OA上动，F在OB上动），不变特征②分别以OA，OB为对称轴，将P对称过去，得到P1，P2③连接P1P2，由“两点之间，线段最短”确定位置，进而求解P到EF的距离．7Ø知识点睛1.几何最值问题的处理思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结

3、构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，要结合所求目标，根据不变特征转化为基本定理或表达为函数解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢，或使用同一变量表达所求目标．基本定理：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例：①轴对称最值模型求PA+PB的最小值，求

4、PA-PB

5、的最大值，使点在线异侧使点在线同侧固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN

6、的最小值，需平移BN（或AM），转化为AM+MB′解决．7②折叠求最值结构求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）．1.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②确定运动路径；通过“起点、终点、特殊点”猜测运动路径，并结合不变特征进行验证．③设计方案，求出路径长．Ø精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，)，点C的坐标为(，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为___________．2.如图，在矩

7、形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．71.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．2.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_______．3

8、.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB，AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是______．4.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，连接DH．若正方形的边长为2，则DH长度的最小值是_______．71.如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是___

9、_______．第7题图第8题图2.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_____．3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，B(1-a，0)，C(1+a，0)（a＞0），点P在以D(4，4)为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是_________．4.如图，边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于点O，把BA与CD分别绕点B和点C逆时针旋转相同的角度，

10、此时正方形ABCD随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点7O′，若旋转了60°，则点O运动到点O′所经过的路径长为_________．1.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_______