随机信号分析基础作业题作业(大部分)-桂电

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1、第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：设事件A表示乘火车；事件B表示乘轮船；事件C表示乘汽车；事件D表示乘飞机。根据已知，可得：PA()=0.3PB()=0.2PC()=0.1PD()=0.4PEA(

2、)=0.25PEB(

3、)=0.4事件E表示迟到，由已知可得PEC(

4、)=0.1PED(

5、)0=根据全概率公式：PE()(

6、)()()()=+++PEAPEBPECPED根据贝叶斯公式：PEA()PEAPA(

7、)⋅()0.075PAE(

8、)====0.455PE()PE()0.165PEB()PEBPB(

9、)⋅()0.08PBE(

10、)====0.485PE()PE()0.165PEC()PECPC(

11、)⋅()0.01PCE(

12、)====0.06PE()PE()0.165PED()PEDPD(

13、)()⋅PDE(

14、)===0PE()PE()综上分析：坐轮船迟到的概率最大，因此她如果迟到，最可能搭载的交通工具是轮船。2x−x2σ2exX,0>

15、3、设随机变量X服从瑞利分布，其概率密度函数为fx()=σ2式中，常xX0,x<0数σ>0，求期望EX()和方差DX()。X思路：∞EX()=∫xfxdx⋅()−∞∞22EX()=∫x⋅fxdx()−∞22DX()()=EX−EX()解：x2∞∞2−x2σ2EX()=∫∫xfX()xdx=exdx−∞0σ2xx令=t，则σx22'22tttt∞∞−−−−∞EX()=te22dt()σσ=−=te()2dtσ[−+te22

16、∞edt]∫∫00xxx0∫0t2∞−π第一项为0，后一项由∫e2dt=，可得02πEX()

17、=σx2x2∞∞3−22x2σ2EX()=∫∫xfX()xdx=exdx−∞0σ2xx令=t，则σxtt222∞∞−−tEX()2==σttedt⋅=222()σσ22edt∫∫xxx002令ty2=，则yy'yy∞∞y−−−−∞EX()22=σσe2dy=−=2ye()2dyσ2[−+=xe22

18、∞edy]2σ2xx∫∫002x0∫0x222π∴=−=−DX()()EXEX()σ(2)x26、已知随机变量X与Y，有EX()1,()=EY=3,()DX=4,()16,DY=ρ=0.5，令XYUXYVXY=3+=,−2,

19、试求EU()、EV()、DU()、DV()和CovUV(,)。解题思路：考察随机变量函数的数字特征协方差：CovXY(,)=−⋅EXYEXEY()()()CovXY(,)相关系数：ρ=XYDX()()DYEaX(+=bY)aEX()+bEY()22DaX(+=bY)aDX()+bDY()2+abCovXY(,)解：EU()(=EXY3+=)3()()3136EX+EY=×+=EV()(2=EX−Y)()2=EX−EY()1235=−×=−CovXY(,)ρ==0.5，DX()4=，DY()=16，XYDX()()DY

20、∴=CovXY(,)4又CovXY(,)=−⋅EXYEXEY()()()∴=EXY()7DU()=DX(3+=Y)322DX()1+DY()+×××231CovXY(,)=76DV()=DX(−2)Y=DX()+−(2)2DY()+××−×21(2)CovXY(,)=52EX()2=DX()+EX22()415=+=222，EY()=DY()+EY()=+=16325∴EUV()=+−=E[(3XYX)(2)]YE(3X2−−=5XY2Y22)3(EX)5(−EXY)−2(EY2)=−70∴=CovUV(,)EUV

21、()−=EUEV()()−4011、设随机变量X的均值为3，方差为2。令新的随机变量YX=−+622，问：随机变量X与Y是否正交、不相关？为什么？解题思路：考察正交、不相关的概念=0EXY()0正交，非0不正交≠0=0ρXY(或者CovXY(,))0不相关，非0相关≠0解：EXY()=−+=−+EX[(6X22)]E(6X2222)X=−6(EX)+22()EXEX()2=DX()+EX22()2311=+=∴EXY()=−×+×=6112230，X与Y正交EY()=−+=E(6X22)−6()EX+=

22、224CovXY(,)=EXY()−EXEY()()=−×=−≠034120∴X与Y不相关第二章1、已知随机信号Xt()=Acosωt，其中ω为常数，随机变量A服从标准高斯分布，求00ππ2t=0,,三个时刻Xt()的一维概率密度函数。33ωω00解：m=EXt[()]=EA[cosωωt]=costEA⋅[]x0022σ()t=