第六章 振动和波

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1、第六章振动和波6—1一轻弹簧在60N的拉力下伸长30cm。现把质量为4kg物体悬挂在该弹簧的下端，并使之静止，再把物体向下拉10cm，然后释放并开始计时。求：(1)物体的振动方程；(2)物体在平衡位置上方5cm时弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到上方5cm处所需要的最短时间。[解](1)取平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向，建立坐标系60k==200(N/m)A=0.1m−230×10k200ω===7.07(rad/s)m4设振动方程为x=cos(7.07t+φ)t=0时,x=0.10.1=0.

2、1cosφφ=0故振动方程为x=0.1cos(7.07t)(m)(2)设此时弹簧对物体作用力为F，则：F＝k(Δx)=k(x+x)0其中x=mg/k=40/200=0.2(m)0因而有F=200(0.2-0.05)=30(N)(3)设第一次越过平衡位置时刻为t1，则:0=0.1cos(7.07t)t=0.5π/7.0711第一次运动到上方5cm处时刻为t2，则-0.05=0.1cos(7.07t2)t2=2π/(3×7.07)故所需最短时间为：Δt=t-t=0.074s216—2一质点在x轴上作谐振动，选取该质点向右运动通过点A时

3、作为计时起点(t＝0)，经过2s后质点第一次经过点B，再经2s后，质点第二经过点B，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB=10cm，求：(1)质点的振动方程：(1)质点在A点处的速率。1[解]由旋转矢量图和

4、v

5、=

6、v

7、可知T=4sab2−1∴T=8s,ν=1/8sω=2πν=π/46-1(1)以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方。t=0时,x=−5=Acosφt=2s时，x=5=Acos(2ω+φ)=−Asinφ由以上二式得tanφ=13π因为在A点质点的速度大于零，所以φ=−4A=x/cosφ=52cm所以，运动方程

8、为：−2x=52×10cos(πt/4−3π/4)(SI)−2dx−52π×10πt3π(2)速度为：v==sin(−)dt444dx−52ππt3π当t=2s时v==sin(−)=3.93cm/sdt4446—3一质量为M的物体在光滑水平面上作谐振动，振幅为12cm，在距平衡位置6cm处，速度为24cms，求：(1)周期T；(2)速度为12cms时的位移。[解](1)设振动方程为x=Acos()ωt+ϕ(cm)−1以A=12cm、x=6cm、v=24cm⋅s代入，得：6=12cos()ωt+ϕ24=−12ωsin(ωt+ϕ)22

9、22⎛6⎞⎛24⎞利用sin()()ωt+ϕ+cosωt+ϕ=1则⎜⎟+⎜⎟=1⎝12⎠⎝−12ω⎠432π3解得ω=T==π=2.72()s3ω2−1(2)以v=24cm⋅s代入，得：12=−12ωsin()ωt+ϕ=−163sin()ωt+ϕ313解得：sin()ωt+ϕ=−所以cos()ωt+ϕ=±44⎛13⎞故x=12cos()ωt+ϕ=12×⎜±⎟=±10.8()cm⎜4⎟⎝⎠6—4一谐振动的振动曲线如图所示，求振动方程。6-2[解]设振动方程为：x=Acos(ωt+ϕ)根据振动曲线可画出旋转矢量图由图可得：φ=2π/3

10、ω=Δφ/Δt=(π/3+π/2)/2=5π/12故振动方程为x=10cos(5πt/12+2π/3)(cm)6—5一质点沿x轴作简谐振动，其角频率ω=10rads，试分别写出以下两种初始状态的振动方程；(1)其初始位移x＝7.5cm，初始速度v=75.0cms；(2)其初始位移x＝7.5cm，000初速度v=−75.0cms。0[解]设振动方程为x=Acos(10t+φ)(1)由题意得：7.5=Acosφ75=-10Asinφ解得：φ=−π4A=10.6cm故振动方程为：x=10.6cos(10t−π4)(cm)(2)同理可得：

11、x=10.6cos(10t+π4)6—6一轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg待其静止后再把物体向下拉10cm，然后释放。问：(1)此小物体是停止在推动物体上面还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A需满足何条件?二者在何位置开始分离?[解](1)小物体停止在振动物体上不分离。(2)设在平衡位置弹簧伸长l，则kl=Mg00N60又k===200()Nml0.3Mg4×9.8故l===0.196()m0k2006-3当小物体与振动

12、物体分离时kA>kl(=Mg)，即A>l，00故在平衡位置上方0.196m处分离。6—7一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12cm，在距平衡位置6cm处，速度是24cms。如果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动(振动频