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1、第38卷第14期数学的实践与认识Vol138No1142008年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJuly,2008机械臂运动路径设计问题胡淼,雷思磊,商晓燕(解放军理工大学通信工程学院,南京210007)摘要:针对机械臂运动的逆问题,提出了无障碍空间的牛顿迭代算法.并对牛顿迭代法进行了改进,建立了有障碍空间中避碰问题的一般模型,并对问题进行了求解.对于求出的机械臂指尖的姿态,先采用最大步长调整,再对剩余部分采用一次微调的方法生成指令序列,使生成的序列尽可能的短.针对具体问题①,
2、给出了达到目标点的一个指令序列,步数为89步,精度为0.179mm;对于问题②,离散化裂纹,应用大步长调整的牛顿迭代法,给出了一个运动序列,实现了避碰焊接,各点的平均精度达到01188mm,并对最低点附近在1mm误差范围内不可达到的区域进行了讨论,用解析和仿真的方法证明和验证了最低点不可达;对于问题③,改进了避碰问题的一般模型和算法,用试探法实现了四个焊接点的无碰焊接,并对圆台内表面在1mm误差范围内不可焊接的区域进行了分析.关键词:牛顿迭代法;盲点;试探法1问题的简述机器人最主要的操作机构是各种形态的机械臂
3、,机械臂的动作形态是由三种不同的单位动作——旋转、回转、伸缩组合而成的.旋转或回转是指机械臂产生相对转动,两者的不同[1]仅在于转动部件的轴线与转动轴线是否同轴.旋转如笔帽的转动,回转如摇柄的转动.根据具体的目标和约束条件计算出合理、便捷、有效的指令序列是机器人控制中的一个重要问题.本文就是对这个问题进行讨论.2问题的分析机械臂的运动属于运动学的范畴.运动学研究旨在解决机器人的手臂转向何方.机械臂的运动学要研究两个问题:运动学正问题——已知各关节位移变量的值,要求机械臂指尖在空间的位置和姿态,这实际上是建立运
4、动学方程的过程;运动学逆问题——指定指尖的空间位置和姿态,要求出各关节位移变量的相应值,这实际上是求解运动学的过程.本文中的问题属于运动学逆问题,即已知初始状态求机械臂指尖到达目标点或者沿一定的轨迹曲线到达目标点的指令序列.运动学逆问题直接求解较困难.本文设计几何算法和牛顿迭代法求解自由空间中机械臂的运动学逆问题.3自由空间中机械臂指尖运动逆问题的求解模型3.1机械臂指尖坐标公式求解对机械臂在空间运动的描述离不开各关节的坐标,因此须首先求出各关节的坐标.首先,建立直角坐标系.原点设在图1中的A点.z轴与AB重
5、合,正向与AB方向一致.收稿日期:200820420114期胡淼,等:机械臂运动路径设计问题95x轴垂直纸面,正向向外.y轴在基座所在的水平面上,正向向右.如图1所示:图1假设机械臂连杆的粗细忽略不计,对角度方向作如下约定:机械臂的关节旋转时,约定顺时针方向为负.坐标系变换时,约定顺时针方向为正.由于E点与上述A、B、C、D点异面,所以直接在此坐标系下求E的坐标比较困难.因此,我们在D点建立新坐标系,求得E点在新坐标系下的坐标后,再变换到原坐标系,得到E点在原坐标系下的坐标公式.坐标转换公式如下:′′′[xE
6、yEzE]=[xEyEzE]T1T2+[xDyDzD](1)其中:PPcos0coscos22PPT2=coscos+H2+H3cos(H2+H3)22PPcoscos(P+H2+H3)cos+H2+H322PPcosH1cos+H1cos22PPT1=cos-H1cos(H1)cos22PPcoscoscos022由式(1)可得E点在原坐标系下的坐标为:96数学的实践与认识38卷xE=sinH1[-255sinH2-255sin(H2+H3)]+65cosH1sinH4sinH5+sinH1[-65cosH
7、5sin(H2+H3)-65cos(H2+H3)cosH4sinH5]yE=cosH1[-255sinH2-255sin(H2+H3)]-65sinH1sinH4sinH5+cosH1[-65cosH5sin(H2+H3)-65cos(H2+H3)cosH4sinH5]zE=140+255cosH2+255cos(H2+H3)+65cos(H2+H3)cosH5-65cosH4sin(H2+H3)sinH53.2牛顿迭代算法由于机械臂指尖轨迹是离散的,而要求指尖沿着预先指定的一条空间曲线x=x(s),y[2]
8、=y(s),z=z(s),a¸s¸b移动,需先将曲线抽样成离散点,再运用牛顿迭代法求可行解,使指尖逼近抽样点.假设机械臂指尖姿态为f((),(=(H1,H2,H3,H4,H5).对于空间任一目标点Q(xQ,yQ,zQ),建立运动学方程组:X(()=xQY(()=yQZ(()=zQ000000利用牛顿迭代法求解此方程,迭代初始点为(=(H1,H2,H3,H4,H5).具体步骤如下:从T=0开始,TTT
