实数完备性的六大基本定理的相互证明(共30个)

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1、1确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。2单调有界原理任何单调有界数列必有极限。3区间套定理若{[a,b]}是一个区间套,则存在唯一一点，使得nn[a,b],n1,2,。nn4Heine-Borel有限覆盖定理设[a,b]是一个闭区间，为[a,b]上的一个开覆盖，则在中存在有限个开区间，它构成[a,b]上的一个覆盖。5Weierstrass聚点定理（Bolzano致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。）直线上的有解无限点集至少有一个聚点。6Cauchy收敛准则数列{a}收敛对任给的正数，总存在某一个自然数N，使得nm,nN时，都有

2、a

3、man

4、。一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设{an}为有上界的递增数列.由确界原理,数列{an}有上确界,记a=sup{an}.下面证明a就是{an}的极限.事实上,任给ε>0,按上确界的定义,存在数列{an}中某一项aN,使得a-ε>aN.又由{an}的递增性,当n≥N时有a-ε

5、满足：１）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设supＳ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ≤ξ，（ｎ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ．事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）唯一性:假设还有另外

6、一点R且[a,b]，则

7、

8、

9、ab

10、0,nnnn即。从而唯一性得证。3.确界原理证明有限覆盖定理即闭区间［ａ，ｂ］的任一开覆盖Ｈ都有有限的子覆盖证①令Ｓ＝｛ｘ｜ａ＜ｘ≤ｂ，［ａ，ｘ］能被Ｈ中有限个开区间覆盖｝；②显然Ｓ有上界因Ｈ覆盖闭区间［ａ，ｂ］，所以，存在一个开区间（α，β）∈Ｈ使ａ∈（α，β）取ｘ∈（α，β），则［ａ，ｘ］能被Ｈ中有限个开区间覆盖从而，ｘ∈Ｓ，故Ｓ非空；③由确界原理存在ζ＝ｓｕｐＳ；④现证ζ＝ｂ用反证法若ζ≠ｂ，则ａ＜ζ＜ｂ由Ｈ覆盖闭区间［ａ，ｂ］，一定存在（α１，β１）∈Ｈ，使ζ∈（α１，β１）取ｘ１，ｘ２使

11、α＜ｘ１＜ζ＜ｘ２＜β１，且ｘ１∈Ｓ则［ａ，ｘ１］能被Ｈ中有限个开区间覆盖，把（α１，β１）加进去，就推得ｘ２∈Ｓ这与ζ＝supＳ矛盾，故ζ＝ｂ，即定理结论成立4.确界原理证明聚点定理证设S是直线上的有界无限点集，则由确界原理有supS,infS。若,中有一点不是S的孤立点，则显然就是S的一个聚点。否则，令E:{xRS中仅有有限个数小于x}。显然E非空且有上界。令supE，则由E的构造方法可知，0必有E，即S中有无限个数小于大于。所以(,)中含有S的无限个数，故是S的聚点。5.确界原理证明Cau

12、chy收敛准则即数列｛ｘｎ｝收敛∀ε＞０，∃Ｎ，当ｎ，ｍ＞Ｎ时有｜ｘｎ－ｘｍ｜＜ε必要性:略充分性:①构造非空有界数集Ｓ，因为欲证明数列｛ｘｎ｝收敛，故数集Ｓ必须含有数列｛ｘｎ中的无限多个数，为此，令Ｓ＝ｘ｜｛（－∞，ｘ）∩｛ｘｎ｝是空集或有限点集｝；②由于满足Cauchy收敛准则充分条件的数列是有界的，故知数列｛ｘｎ｝的下界ａ∈Ｓ，上界ｂ也是Ｓ的上界,所以Ｓ是非空有上界的数集由确界原理数集Ｓ有上确界ζ＝supＳ；③对ε＞０，（－∞，ζ）∩｛ｘｎ｝是无限点集，否则，就与ζ＝supＳ矛盾因（－∞，ζ-ε）∩｛ｘｎ｝至多含有｛ｘｎ｝的有限多个点故（ζ－ε，ζ＋ε）含有

13、｛ｘｎ｝的无限多个点设ｘｎｋ∈（ζ－ε，ζ＋ε），ｋ＝１，２，⋯，且ｎ１＜ｎ２＜⋯取Ｎ１＝max｛Ｎ，ｎ１｝，则当ｎ＞Ｎ１时，总存在ｎｋ＞Ｎ１使ｘｎ－ζ≤｜ｘｎ－ｘｎｋ｜＋｜ｘｎｋ－ζ｜＜２ε，因此ｘｎ＝ζ．二.单调有界定理6．单调有界定理证明确界定理证：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界(1).欲求一实数使它是非空数集Ｓ的上确界利用非空有上界的数集Ｓ，构造一数列使其极限为我们所要求的实数选取性质ｐ：不小于数集Ｓ中的任一数的有理数将具有性质ｐ的所有有理数排成一个数列｛ｒｎ｝，并令｛ｘｎ｝＝ｍａｘ｛ｒ１，ｒ２，⋯，ｒｎ｝，则得单调递增有上界的数列｛ｘｎ｝；(2

14、)由单调有