初中最值问题的常用解法

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1、《数学教学通讯》2004年10月(上半月)(总第203期)重庆·39·初中最值问题的常用解法(重庆北碚西南师范大学附属中学400700)张珍俊最值问题是一个古老而又崭新的课题,它x=1渗透到代数、几何、三角、不等式等各个学科领当1即x=1时有最小值1.x=域,随着数学内容的不断深化,解最值问题的方x法也愈加丰富.这类题不仅涉及面广,而且蕴涵2消元法着丰富的数学思想和方法.本文介绍一些常见对于多元函数,可选择其中一个作为主元,的方法.设法消去另外的变量,从而转化为一元函数.消1配方法元法是解决多元函数的一个重要方法,但应注意自变量取值范围.将代数式配成平方和的形式,利用平方是例

2、3已知x、y、z为实数,且x+2y-z非负数这一特点而求其最值,但应注意能否同222=6,x-y+2z=3,求S=x+y+z的时取得最值.2最小值.例1求实数x,y的值,使得(y-1)+分析:在S中有三个变量,可通过消元法消22(x+y-3)+(2x+y-6)达到最小值.去两个变量.分析:对于多元函数,可选定其中一个作为解:由已知可得y=5一x,z=4-x,则主元来进行配方.222S=x+(5-x)+(4-x)=22解:原式=5x+6xy+3y-30x-20y23(x-3)+14.+46=故当x=3时S有最小值14.225x+(6y-30)x+3y-20y+46=例4若a、c

3、、d是整数,b是正整数,且满5[x2+6y-30x+(3y-15)2]-足a+b=c,b+c=d,c+d=a,求a+b+55c+d的最大值.3y-1522()+3y-20y+46=5分析:由于b是正整数,可考虑以b为主元,326521设法消去a、c、d.5(x+y-3)+(y-)+5566解:由已知得c-a=b,d-c=b,c+3x+y-3=0d-a=0555当即x=,y=解得a=-3b,c=-2b,d=-b526y-=06故a+b+c+d=-5b≤-5,故b=11时,a+b+c+d有最大值-5.时原式有最小值.6+213构造法例2设x∈R,求函数y=x-x+x的最小值.有些

4、最值题目的已知条件与未知条件之间的关系比较隐蔽,需要通过构造搭建桥梁,使问212解:原式=(x-1)+(x-)+x题解决的途径明朗化,具体说来,构造的方法有1数数联想构造,有形形联想构造,还有数形联想·40·重庆《数学教学通讯》2004年10月(上半月)(总第203期)构造等.4数形结合法22例5设x、y是实数,且x+xy+y=223,求x-xy+y的最值.所谓数形结合就是根据问题的条件和结论22解:设x-xy+y=m,之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其22又x+xy+y=3几何意义,使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思9-m3-

5、m解得x+y=±,xy=22路,使问题得到解决.例8当a取遍0到29-m3-m则x,y是方程t±t+=225的所有实数值时,求满0的两个实根.足3b=a(3a-8)的整9-m23-m数b的个数.从而有Δ=(±)-4≥22分析:由3b=a(3a082-8),有b=a-a.9-m3图1解得m≥1,又≥0,即m≤9,则2这是一个二次函数,其图1≤m≤9.象是一条抛物线,当a取遍0到5的所有实数故m的最小值为1,最大值为9.时,求整数b的个数就是求b的最大值与最小值例6设a、b、c、d、e是实数,且a+b+之间的整数的个数.22222c+d+e=8,a+b+c+d+e=16,28解:

6、先作出b=a-a的图象(注意0≤求e的最大值.3解:由已知得a+b+c+d-8-e,a≤5).由图象知,在0≤a≤5时,b的最小值2222282得a+b+c+d=16-e-(-)2316令f(x)=4x-2(a+b+c+d)x+为=-,b的最大值为f(5)=492222(a+b+c+d)=351635.在-与之间共有13个整数.故整数b=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+3932的个数为13.(x-d)≥0另一方面,二次项系数为4,有Δ≤0例9在满足x+2y≤3,x≥0,y≥01616的条件下,求2x+y能达到的最大值.解得0≤e≤,所以e的最大值为.55解:如图2,

7、作出直2例7求函数y=x-4x+8+线x+2y=3,满足不等2x+2x+2的最小值.式x≥0,y≥0,x+2y22≤3约束的点集是图中解:原式=(x-2)+2+2直线与x,y轴所围成的(x+1)+1.区域△ABO(包括边它表示点A(x,0)到点B(2,2),C(-1,1)界).要求s=2x+y的图2的距离之和,原题转化为在x轴上找一点A到最大值,把s=2x+y变形为y=-2x+s,其点B、C距离之和最小,由几何知识可得,应先相应的图象是斜率为-2的平行直线束.欲求s求出点B关于x轴的对称点B′,,则最小