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1、第2卷第2期南京审计学院学报Vol.2,No.22005年5月JournalofNanjingAuditUniversityMay,2005关于矩阵的秩的例题教学戴红霞(南京审计学院应用数学系,江苏南京210029)[摘要]本文通过三个典型例题的具体讲解,加深学生对抽象概念“矩阵的秩”的理解和掌握。[关键词]矩阵的秩;子式;行(列)秩[中图分类号]O151.21[文献标识码]A[文章编号]16728750(2005)02007603在线性代数中,矩阵的秩是个比较抽象的概念,对于判断线性方程组是否有解的题型,学生基多数
2、学生仅仅只是会背定义,并不能深刻地理解其本都会按部就班地写出如下步骤:定义的内涵,更谈不上在具体题目中能灵活运用这先写出方程组的增广矩阵,然后对增广矩阵作个数学概念。本文从对例题教学的设计与应用角度初等行变换,得:来探讨如何加深学生对矩阵的秩的理解和掌握。ab21ab210b-110一、关于矩阵的秩的定义与定理※0b-110ab1-b3-2b00b+12(b-1)在文献[1]中关于矩阵的秩的定义和定理如下:ab1-b3-2b定义1设A为m×n矩阵,如果A中不为零当a≠0时,阶梯形矩阵为的子式最高阶数为r,即存在r阶子
3、式不为零,而任0b21何r+1阶子式皆为零,则称r为矩阵A的秩,记作0b-110秩(A)=r或r(A)=r。当A=0时,规定r(A)=0。00b+12(b-1)定义2矩阵A的行(列)向量组的秩称为矩阵到这一步,大多数学生会认为系数矩阵的秩是A的行(列)秩。2,增广矩阵的秩是3,因此当a=0时方程组无解。定理1矩阵A的秩为r的充分必要条件是A而事实上这是一个含参数的矩阵,并不是看非零行的行(列)秩为r。或列的个数就能判断矩阵的秩。二、矩阵的秩的例题教学过程设计此时可以通过提问以下四个问题来启发学生的思维:例1讨论a,b
4、取何值时,下列方程组有解,并问题一:判断线性方程组是否有解的根据是求其解。什么?ax1+bx2+2x3=1学生基本都能回答:看系数矩阵A的秩与增广(b-1)x2+x3=0矩阵(A,b)的秩是否相等。ax1+bx2+(1-b)x3=3-2b[收稿日期]20050222[作者简介]戴红霞(1977—),女,江苏泰兴人,南京审计学院应用数学系助教,主要从事线性代数的教学与研究。·76·问题二:r(A)是多少?r(B)具体求出来,于是钻进求r(A)与r(B)的死胡同。对于这个问题,很多学生看到矩阵A有一列元这时可以提问这样几
5、个问题:素为零,于是会回答是r(A)=2。此时追问一定是问题一:你认为这么少的已知条件能求出r(A)2吗?提醒学生看矩阵的秩的定义1,学生会反应过与r(B)的具体值吗?来,因为是含参数矩阵,并不能确定是否一定有某个问题二:如果不能同时求r(A)与r(B),不妨固定二阶子式不为零,因此r(A)也有可能是1。接着总其中一个(设r(A)=r),此时只要证明r(B)≤n-r。结一下,即1≤r(A)≤2。问题三:看到n-r,你能联想到什么知识?问题三:r(A,b)是多少?学生一般由n-r想到线性方程组的基础解系这有了第二个问题
6、的铺垫,大多学生会立刻回答个知识点,再问哪个线性方程组?而线性方程组Ax=1≤r(A,b)≤3。再问此取值范围能进一步缩小吗?0中的x是n维列向量,已知条件是AB=0,且B为如果r(A,b)=1,则意味着什么?再次提醒学生看定n×s矩阵,故把B按列分块为B=(b1,b2,…,bs),按义1,学生会很快回答:r(A,b)=1意味着增广矩阵照定理1,r(B)就等于向量组b1,b2,…,bs的秩。(A,b)的所有二阶子式为零。再问增广矩阵(A,b)具体求解如下:的所有二阶子式真的都为零吗?你能确定哪个二阶设r(A)=r,由
7、AB=0,得A(b1,b2,…,bs)=21(Ab1,Ab2,…,Abs)=0,即Abi=0(i=1,2,…,子式的值?引导学生注意到二阶子式=-110s),所以bi(i=1,2,…,s)满足线性方程组Ax=0≠0,故r(A,b)≥2,总结起来,即2≤r(A,b)≤3由齐次线性方程组解的结构定理,线性方程组问题四:要使得方程组有解,必须r(A)=r(A,Ax=0的基础解系由n-r个线性无关的解向量构b)=2,怎样才能保证r(A,b)=2?成,向量组b1,b2,…,bs只是Ax=0的解空间的一要使得r(A,b)=2,则
8、要求增广矩阵(A,b)的个子集,所以四个三阶子式全为零,因为第一列元素为零,所以含r(b1,b2,…,bs)≤n-r,即r(B)≤n-r,第一列的三个三阶子式皆为零,不含第一列元素的故r(A)+r(B)≤r+(n-r)=n三阶子式为通过例题2使学生体会到定理2的作用不仅仅b21局限于数字矩阵,实际上在抽象矩阵的秩中也经常b-110=(b-1)(
