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1、解决梯形问题的几种辅助线添法甘肃省武都区佛崖中学林路灵关键词：梯形问题；辅助线；添法梯形问题通过添加适当的辅助线，转化为平行四边形（或矩形）与三角形（或特殊的三角形）来解决，可化复杂为简单，常见辅助线添法如下六种，现举例说明1、过梯形的上底作两条高（或一条高）.例已知等腰梯形的锐角等于600,它的两底分别是15cm、49cm,求它的腰长.E图1ADBCF解:如图1.过点A、D分别作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F，则四边形AEFD是矩形.∴AD=EF=15cm.∵ABCD是等腰梯形,∴BE=FC==17cm.又∠
2、B=600,∴∠BAE=300,∴AB=2BE=34cm.2、平移一腰例在梯形ABCD中，AB∥CD,∠C=750,∠D=300.求证:AD=DC-AB.E图2ABCD12解:如图2.过A作AE∥BC交DC于E，则四边形AECB是平行四边形.∴∠1=∠C=750.又∠D=300,∴∠2=750.∴∠1=∠2.∴AD=DE.∵AB=EC,DE=DC-EC,∴AD=DC-AB.3、平移一条对角线3例已知:梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC=BD.求证:AB=CD.图3ABCDE12证明:如图3.过D作DE∥AC交
3、BC的延长线于E,则四边形ACED是平行四边形.∴AC=DE.∵BD=AC,∴BD=DE.∴∠2=∠E.∵∠1=∠E,∴∠1=∠2.又BC=CB,AC=DB,∴ABC≌DCB(SAS).∴AB=DC.4、延长两腰12BADCE图4例梯形ABCD中AD∥BC,∠B=∠C.求证:梯形ABCD是等腰梯形.证明:如图4.分别延长BA、CD相交于E.∵AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C.∵∠B=∠C,∴∠1=∠2.∴AE=DE.又BE=CE,∴BA=CD即梯形ABCD是等腰梯形.5、取一腰中点割补例如图5.E是梯形AB
4、CD腰CD的中点.求证:S=S.证明:过E分别作EF⊥AB于F,MN∥AB交BC于N,交AD延长的线于M.则四边形ABNM是平行四边形.∴∠M=∠1.图5ABCDEFMN134∵∠3=∠4,DE=CE,∴ΔDEM≌ΔCEN.∴S=S.∴S=S=AB×EF.又S=AB×EF.∴S=S.6、作中位线3例如图6.梯形ABCD中AD∥BC,∠DAB=900,E为CD的中点.EABCDF图6求证:AE=BE.证明:过E作EF∥AD交AB于F.∵AD∥EF∥BC,E为CD的中点,∴AF=BF.∵∠DAB=90,AD∥EF,
5、∴EF⊥AB.∴EF是AB的垂直平分线.∴AE=BE.7、有的问题并不是添一条辅助线就可解决,而是添加几条才能解决,但它没有离开以上六种基本添法.例等腰梯形ABCD中，BD=BC、AC⊥BD于M.求证:CM=(AD+BC).图7ABCDEFM证明:如图7过D分别作DF⊥BC于F，DE∥AC交BC的延长线于E.则四边形ACED是平行四边形.∴AD=CE,AC=DE.∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∴BD=DE.∵AC⊥BD,AC∥DE,∴BD⊥DE.∴ΔBDE是等腰直角三角形.∵DF⊥BC,∴DF是等腰R
6、tΔBDE斜边BE的中线.∴DF=BE=(BC＋CE)=(BC＋AD).∵BD=BC，∠MBC=∠FBD，∠BMC=∠BFD，∴ΔBCM≌ΔBFD.∴CM=DF.∴CM=(BC＋AD).3
