分数量子霍尔效应

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1、分数量子霍尔效应量子霍尔效应是过去二十年中，凝体物理研究里最重要的成就之一。要解释这个效应，需要用上许多量子物理中最微妙的概念。今年众所瞩目的诺贝尔物理奖，由美国普林斯顿大学的崔琦（DanielC.Tsui）、哥伦比亚大学的史特莫（HorstL.Stormer）及史丹佛大学的劳夫林（RobertB.Laughlin）三人获得。得奖理由是“他们发现了一种新形态的量子流体，其中有带分数电荷的激发态”。　　　　在他们三位的新发现之前，物理学者认为除了夸克一类的粒子之外，宇宙中的基本粒子所带的电荷皆为一个电

2、子所带的电荷-e（e=1.6×10-19库伦）的整数倍。而夸克依其类别可带有±1e/3或±2e/3电荷。夸克在一般状况下，只能存在于原子核中，它们不像电子可以自由流动。所以物理学者并不期待在普通凝体系统中，可以看到如夸克般带有分数电子电荷的粒子或激发态。　　这个想法在1982年崔琦和史特莫在二维电子系统中，发现分数霍尔效应后受到挑战。一年后劳夫林提出一新颖的理论，认为二维电子系统在强磁场下由于电子之间的电力库伦交互作用，可以形成一种不可压缩的量子液体（incompressiblequantumflu

3、id），会展现出分数电荷的出现可说是非常神秘，而且出人意表，其实却可以从已知的量子规则中推导出来。　　劳夫林还曾想利用他的理论，解释夸克为什么会带分数电子电荷，虽然这样的想法到目前还没有成功。劳夫林的理论出现后，马上被理论高手判定是正确的想法。不过对很多人而言，他的理论仍很难懂。在那之后五、六年间，许多重要的论文陆续出现，把劳夫林理论中较隐晦的观念阐释得更清楚，也进一步推广他的理论到许多不同的物理状况，使整个理论更为完备。以下扼要说明什么是分数量子霍尔效应，以及其理论解释。　　霍尔电导系数　　我们研

4、究的对象是二维电子系统。假设电子仅能活动于x-y平面上，而在z轴方向有一均匀磁场B，如图一所示。霍尔效应就是当x轴方向有电流I时，在y轴方向就会有电位差VH。　　我们测量I和VH就可以得到霍尔电导系数RH，　　（1）　　EH是y轴方向的电场强度，J是电流密度。让我们先从古典电磁学的角度来看RH是什么。　　当电子以速度v在负x轴方向前进，它会受到沿着负y轴方向的磁力（罗伦兹力），大小为evB/c，也会受到y轴方向的电力eEH。这两个力必须相等，电子才能毫不偏移地在x轴上移动。所以　　……………（2）如

5、果n代表电子密度，则电流密度J即是　　……………（3）因此　　（4）　　所以在古典理论中，我们会预期所测量到的RH与磁场B成正比的关系，如图二所示。但崔琦和史特莫所量到的RH，却是如图三所示。我们看到RH和B并不是单纯的正比关系，而是当RH上升至一些特殊的磁场附近（如箭头所指）时会保持不变，我们可以看到出现如平台般的区域。然后RH再上升至下一个平台，仿佛二维电子系统在那些特定的磁场附近有特别的稳定性。在RH处于平台的同时，平行于电流方的电位差V却降落为零，意思是这时的二维电子进入某种超流状态，所以电

6、流I不需要由电位差V来推动。　　量子霍尔效应　　仔细看实验数据会发觉，在平台上RH的值是（h是普　　郎克常数）乘上1/V。ν可以是1,2,3…等整数，或是1/3,2/3,2/5,……等分数。当ν是整数时，我们称它为整数量子霍尔效应；当ν是分数时，我们称它为分数量子霍尔效应。　　为什么说它是“量子”效应呢？因为（普郎克常数）出现了。这从古典公式（4）是看不出来的。其实整数量子霍尔效应，是德国物理学者冯克立钦（vonKlitzing）是1980年发现的，他也因此在1985年获得诺贝尔奖。崔琦和史特莫更进

7、一步在高磁场和更低的温度条件，发现分数量子霍尔效应。接下来将简单介绍怎么从量子力学观点来看霍尔效应，并且解释ν的意义。　　在量子力学中，电子被视为是波，它的运动遵循薛丁格（Schrodinger）方程式，要了解电子行为就要解薛丁格方程式。当电子数目很大，而且电子间的强交互作用不可忽略时，对薛丁格方程式我们几乎是不可能得到完整而精确的解。劳夫林的贡献在于他能写出一个波函数，把二维电子系统的重要物理性质表达出来。要了解这理论，得先知道如果忽略电子间的库伦交互作用，单一电子在磁场作用下的行为。这个问题已被

8、著名俄国物理学者兰道（LevLandau）在1930年解决了。他发现二维电子只能处于一些电子态上，其中i和n是标示量子态的量子数。　　量子态具有能量En，　　如图四所示。　　这En就被称为Landau能阶。重要的是E与量子数i无关，亦即有许多不同的量子态具有相同的能量，也就是简并态（degeneratestates）的出现。究竟有多少个不同的量子态位于同一能阶上呢？从兰道的解答我们可以算出共有Nd个，而且可看出即使在不同能阶，其简并态数目皆相同，　　……………（6）