孙炳达版《自动控制原理》第4章控制系统的根轨迹分析法

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1、自动控制原理第四章控制系统的根轨迹分析法4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、根轨迹的幅值条件和相角条件一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为：其开环传递函数：由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得：4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则以上两式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。在S平面上的任一点，凡能满足以上条件的，就是系统特征方程的根，就必定在根轨迹上。注：当闭环系统为负反馈时，对应的轨迹为180°根轨迹；而正反馈系统的轨迹为零度根轨迹。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则开环传递函数

2、通常可以写为（零极点形式）：其中Kg——开环传递系数zj和pi——开环零点和极点因此，幅值条件可表示为：或4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则相角条件为：其中αj——开环零点到S的矢量角βi——开环极点到S的矢量角注：在测量相角时，规定以逆时针方向为正。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则说明：（1）幅角条件只与开环零、极点有关，为充要条件；（2）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关，必要条件。（3）凡满足幅值和幅角条件的s值，都是闭环极点。绘制根轨迹的步骤：（1）寻找满足幅角条件所有的s点，由这些点构成根轨迹；（

3、2）根据幅值条件确定对应点(即特征方程根)处的Kg值。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则在根轨迹图中，一般约定：“×”表示开环极点；“○”表示开环有限值零点；粗线表示根轨迹；箭头表示某一参数增加的方向；“.”表示根轨迹上的点。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则例已知开环系统的传递函数如下式，设-s0为该闭环系统的一个极点，求其对应的传递系数Kg0。式中-z1为开环有限零点；0、-p1、-p2为开环极点。解由相角条件确定根轨迹上的某点位置，如图，使其满足：再按幅值条件求得该点的根轨迹传递系数：4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则例

4、已知系统的开环传递函数证明该系统的开环极点试证明复平面上点是该系统的闭环极点。若系统闭环极点为s1，s2，则它们应满足相角条件。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则以s1为试验点，由图可得以s2为试验点，由图可得可见，s1和s2均满足相角条件，均为闭环极点。证毕。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则例已知系统的开环传递函数解根据幅值条件当变化时其根轨迹如图所示，求根轨迹上点所对应的K值。求得4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则二、绘制根轨迹的基本规则1连续性根轨迹是连续的当Kg连续变化时，特征方程的根也是连续变化的，所以根轨迹是连续

5、的。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则2对称性由于系统特征方程式的系数均为实数，因而特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对称于实轴。3根轨迹的条数为系统的阶数即系统特征方程的阶数，也为开环传递函数的极点数。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则4起点和终点根轨迹的起点是指Kg=0根轨迹的点。根轨迹的终点是指Kg=∞根轨迹的点，即终点为开环传递函数的零点。由幅值条件可知，当Kg=0时对应s=-pi，即根轨迹的起点为开环传递函数的极点。若起点数n大于零点数m,则有m条根轨迹终于零点，有n-m条终于无穷远处（无穷远处的零点称之为无限零点）

6、。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则5实轴上的根轨迹在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环极点数之和为奇数。1）每对共轭复数极点所提供的幅角之和为360°；2）s1左边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为0°；3）s1右边所有位于实轴上的每一个极点或零点所提供的幅角为180°。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则例已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。解上在实轴，右边线段零、极点数为奇数的线段是：[-1，-2]右侧实零、极点数=3。[-4，-6]右侧实零、极点数=7。4.2绘制

7、根轨迹的基本条件和基本规则例设一单位负反馈系统的开环传递函数为解将开环传递函数写成零、极点形式求时的闭环根轨迹。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则按绘制根规迹法则逐步进行：1）法则三，2阶系统，因此有两条根轨迹；2）法则四，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，其中一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处；3）法则五，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹；4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则最后绘制出根轨迹如下图所示。4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则6分离点和会合点特征方程的重根为根轨迹的分离点或会合点。4.2绘

8、制根轨迹的基本条件和基本规则闭环特征方程式分离点或会合点可由下式求得此外，s对应的Kg值为正时，才是实际的分离或会合点。上式为必要条件，求出S值可能为分离点或会合点；上式的解根轨迹上，需满足：4.2绘制根轨迹的基本条件和基本规则注：1