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时间:2019-05-20
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1、函数综合问题成都树德中学高考数学总复习 撰 稿:石小燕 编 审:谷 丹 责 编:严春梅 本周教学重点难点: 函数知识是贯穿高中数学的一条主线,其方程思想揭示了知识间的内在联系,它与不等式,数列,解析几何,三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象,性质,函数概念等纵向的综合问题,也是考察的重点,难点。 本周教学例题: 例1.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题: ①f(x)有最小值。 ②当a=0时,f(x)的值域为R。 ③当a>0时,f(x)在区间[2,+∞)上有反函数。 ④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实
2、数a的取值范围是a≥-4。 其中正确命题的序号为:②,③。 分析:<1>既要逐个判断命题,又要注意各个命题之间的相互联系。有时,判断其中一个命题成立时,同时可判断其否命题不成立。如其中的①和②。 <2>逐个命题给予判断: 由①:a=0时,f(x)∈R,∴f(x)无最小值,因此①不正确,而②是正确的。 由③:若使f(x)在[2,+∞)上有反函数,设u=g(x)=x2+ax-a-1,对称轴x=-, 当x∈[2,+∞)时,要使u>0,即g(2)>0。 则有:22+2a-a-1>0,即a>-3,又-≤2a≥-4。 ∵a>0,则符合题意要求。 又∵u在
3、(-,+∞)上单调增,lgu也为单增函数, ∴f(x)当a>0时,在[2,+∞)上有反函数,即③正确。 由④f(x)在[2,+∞)上单增, 只需:a>-3,∴a≥-4不能保证f(x)在[2,+∞)上单增, 因此④不正确。 小结:上述问题中,复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各个函数的单调性,又要重视定义域问题。 例2.已知点P(x,y)在函数y=-x2+x-的图象上运动,其对应点Q()在函数g(x)的图象上运动,<1>求g(x)的解析式。 <2>问:是否存在实数m,n(m4、3n]。 解:<1>设g(x)图象上的点(x1,y1), 据题意有: , ∴, ∴。 <2>。∴对称轴:x=1。又m5、定二次函数,而x取值的区间[m,n]是一个动区间的问题,其值域与二次函数图象变化趋势相关,即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与[m,n]的相对位置展开讨论,并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值,从而确定了[m,n]与对称轴之间的位置,使问题的解法一下子就简化了。 例3.定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证:f(x)为奇函数。 (2)若:f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围。 分析:(I)要证f(x)为奇函数6、即证f(-x)=-f(x)。 (II)未给出具体函数,应考虑以性质入手解决。 解:(1)∵对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令y=-x,有:f(0)=f(x)+f(-x) 令x=y=0,又有:f(0)=2f(0),∴f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。 (2)∵f(3)=log23>0,又f(0)=0, ∴f(3)>f(0),又f(x)在R上单调函数,∴f(x)在R上为单调增函数, ∵f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0, 即, ∴,即对x∈R成立, 令3x=t>0,∴t2-(k+1)7、t+2>0对任意t>0均成立。 (方法1)令g(t)=t2-(k+1)t+2,对称轴: 当,即k<-1时,g(0)=2>0符合题意。 当时,对任意t>0,有g(t)>0恒成立,只需: 解得:。 综上,当时,对任意均成立。 (方法2)由(I) ∵3x>0,∴, 使, ∴(等号可以取到)。 要使对任意(I)成立,只需即可。 小结:对于抽象函数,先从性质入手,再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边,从而由一边关于x的范围得出k的范围,而求关于x的函数的值域时,应用的是8、平均不等式。 例4.已知函数(a,b
4、3n]。 解:<1>设g(x)图象上的点(x1,y1), 据题意有: , ∴, ∴。 <2>。∴对称轴:x=1。又m5、定二次函数,而x取值的区间[m,n]是一个动区间的问题,其值域与二次函数图象变化趋势相关,即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与[m,n]的相对位置展开讨论,并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值,从而确定了[m,n]与对称轴之间的位置,使问题的解法一下子就简化了。 例3.定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证:f(x)为奇函数。 (2)若:f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围。 分析:(I)要证f(x)为奇函数6、即证f(-x)=-f(x)。 (II)未给出具体函数,应考虑以性质入手解决。 解:(1)∵对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令y=-x,有:f(0)=f(x)+f(-x) 令x=y=0,又有:f(0)=2f(0),∴f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。 (2)∵f(3)=log23>0,又f(0)=0, ∴f(3)>f(0),又f(x)在R上单调函数,∴f(x)在R上为单调增函数, ∵f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0, 即, ∴,即对x∈R成立, 令3x=t>0,∴t2-(k+1)7、t+2>0对任意t>0均成立。 (方法1)令g(t)=t2-(k+1)t+2,对称轴: 当,即k<-1时,g(0)=2>0符合题意。 当时,对任意t>0,有g(t)>0恒成立,只需: 解得:。 综上,当时,对任意均成立。 (方法2)由(I) ∵3x>0,∴, 使, ∴(等号可以取到)。 要使对任意(I)成立,只需即可。 小结:对于抽象函数,先从性质入手,再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边,从而由一边关于x的范围得出k的范围,而求关于x的函数的值域时,应用的是8、平均不等式。 例4.已知函数(a,b
5、定二次函数,而x取值的区间[m,n]是一个动区间的问题,其值域与二次函数图象变化趋势相关,即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与[m,n]的相对位置展开讨论,并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值,从而确定了[m,n]与对称轴之间的位置,使问题的解法一下子就简化了。 例3.定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证:f(x)为奇函数。 (2)若:f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围。 分析:(I)要证f(x)为奇函数
6、即证f(-x)=-f(x)。 (II)未给出具体函数,应考虑以性质入手解决。 解:(1)∵对任意x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y), ∴令y=-x,有:f(0)=f(x)+f(-x) 令x=y=0,又有:f(0)=2f(0),∴f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。 (2)∵f(3)=log23>0,又f(0)=0, ∴f(3)>f(0),又f(x)在R上单调函数,∴f(x)在R上为单调增函数, ∵f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0, 即, ∴,即对x∈R成立, 令3x=t>0,∴t2-(k+1)
7、t+2>0对任意t>0均成立。 (方法1)令g(t)=t2-(k+1)t+2,对称轴: 当,即k<-1时,g(0)=2>0符合题意。 当时,对任意t>0,有g(t)>0恒成立,只需: 解得:。 综上,当时,对任意均成立。 (方法2)由(I) ∵3x>0,∴, 使, ∴(等号可以取到)。 要使对任意(I)成立,只需即可。 小结:对于抽象函数,先从性质入手,再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边,从而由一边关于x的范围得出k的范围,而求关于x的函数的值域时,应用的是
8、平均不等式。 例4.已知函数(a,b
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