函数综合问题

《函数综合问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、函数综合问题成都树德中学高考数学总复习　　撰　稿：石小燕　　　编　审：谷　丹　　　责　编：严春梅　　本周教学重点难点：　　函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。　　本周教学例题：　　例1．设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题：　　①f(x)有最小值。　　②当a=0时，f(x)的值域为R。　　③当a>0时，f(x)在区间[2，+∞)上有反函数。　　④若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实

2、数a的取值范围是a≥-4。　　其中正确命题的序号为：②，③。　　分析：<1>既要逐个判断命题，又要注意各个命题之间的相互联系。有时，判断其中一个命题成立时，同时可判断其否命题不成立。如其中的①和②。　　<2>逐个命题给予判断：　　由①:a=0时，f(x)∈R,∴f(x)无最小值，因此①不正确，而②是正确的。　　由③:若使f(x)在[2，+∞）上有反函数，设u=g(x)=x2+ax-a-1,对称轴x=-,　　当x∈[2,+∞)时，要使u>0,即g(2)>0。　　则有：22+2a-a-1>0，即a>-3,又-≤2a≥-4。　　∵a>0,则符合题意要求。　　又∵u在

3、(-,+∞)上单调增，lgu也为单增函数，　　∴f(x)当a>0时，在[2,+∞)上有反函数，即③正确。　　由④f(x)在[2,+∞）上单增，　　只需：a>-3,∴a≥-4不能保证f(x)在[2,+∞)上单增，　　因此④不正确。　　小结：上述问题中，复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各个函数的单调性，又要重视定义域问题。　　例2．已知点P(x,y)在函数y=-x2+x-的图象上运动，其对应点Q()在函数g(x)的图象上运动，<1>求g(x)的解析式。　　<2>问：是否存在实数m,n(m

4、3n]。　　解：<1>设g(x)图象上的点(x1,y1),　　据题意有：　　，　∴，　　∴。　　<2>。∴对称轴：x=1。又m

5、定二次函数，而x取值的区间[m,n]是一个动区间的问题，其值域与二次函数图象变化趋势相关，即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与[m,n]的相对位置展开讨论，并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值，从而确定了[m,n]与对称轴之间的位置，使问题的解法一下子就简化了。　　例3．定义在实数集上的单调函数f(x)满足f(3)=log23。且对于任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)　　（1）求证：f(x)为奇函数。　　（2）若：f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围。　　分析：（I）要证f(x)为奇函数

6、即证f(-x)=-f(x)。　　（II）未给出具体函数，应考虑以性质入手解决。　　解：（1）∵对任意x,y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y),　　∴令y=-x,有:f(0)=f(x)+f(-x)　　令x=y=0,又有:f(0)=2f(0),∴f(0)=0,　　∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数。　　（2）∵f(3)=log23>0，又f(0)=0,　　∴f(3)>f(0)，又f(x)在R上单调函数，∴f(x)在R上为单调增函数，　　∵f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0,　　即,　　∴，即对x∈R成立，　　令3x=t>0，∴t2-(k+1)

7、t+2>0对任意t>0均成立。　　（方法1）令g(t)=t2-(k+1)t+2,对称轴：　　当，即k<-1时，g(0)=2>0符合题意。　　当时，对任意t>0，有g(t)>0恒成立，只需：　　　解得：。　　综上，当时，对任意均成立。　　（方法2）由（I）　　∵3x>0,∴,　　使,　∴（等号可以取到）。　　要使对任意（I）成立，只需即可。　　小结：对于抽象函数，先从性质入手，再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边，从而由一边关于x的范围得出k的范围，而求关于x的函数的值域时，应用的是

8、平均不等式。　　例4．已知函数（a,b