函数的综合问题

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1、函数的综合问题　　2.12函数的综合问题　　●知识梳理　　函数的综合应用主要体现在以下几方面：　　1.函数内容本身的相互综合，如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.　　2.函数与其他数学知识点的综合，如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.　　3.函数与实际应用问题的综合.　　●点击双基　　1.已知函数f（x）=lg（2x－b）（b为常数），若x∈［1，+∞）时，f（x）≥0恒成立，则　　A.b≤1　　B.b＜1　　C.b≥1　　D.b=1　　解析：当x∈［1，+∞）时，f（x）≥0，从而2x－b≥1，即b≤2x－1.而x∈［1，

2、+∞）时，2x－1单调增加，　　∴b≤2－1=1.　　答案：A　　2.若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式

3、f（x+1）－1

4、＜2的解集是___________________.　　解析：由

5、f（x+1）－1

6、＜2得－2＜f（x+1）－1＜2，即－1＜f（x+1）＜3.　　又f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象过点A（0，3），B（3，－1），　　∴f（3）＜f（x+1）＜f（0）.　　∴0＜x+1＜3，－1＜x＜2.　　答案：（－1，2）　　●典例剖析　　【例1】取第一象限内的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）

7、，使1，x1，x2，2依次成等差数列，1，y1，y2，2依次成等比数列，则点P1、P2与射线l:y=x（x＞0）的关系为　　A.点P1、P2都在l的上方　　B.点P1、P2都在l上　　C.点P1在l的下方，P2在l的上方　D.点P1、P2都在l的下方　　剖析：x1=+1=，x2=1+=，y1=1×=，y2=，∵y1＜x1，y2＜x2，　　∴P1、P2都在l的下方.　　答案：D　　【例2】已知f（x）是R上的偶函数，且f（2）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x－1），求f（2002）的值.　　解：由g（x）=f（x－1），x∈R，得f（x）=g

8、（x+1）.又f（－x）=f（x），g（－x）=－g（x），　　故有f（x）=f（－x）=g（－x+1）=－g（x－1）=－f（x－2）=－f（2－x）=－g（3－x）=　　g（x－3）=f（x－4），也即f（x+4）=f（x），x∈R.　　∴f（x）为周期函数，其周期T=4.　　∴f（2002）=f（4×500＋2）＝f（2）=0.　　评述：应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.　　【例3】函数f（x）=（m＞0），x1、x2∈R，当x1+x2=1时，f（x1）+f（x2）=.　　（1）求m的值；　　（2）数列{an}，已知an=f（0）+f（）+f（）+…+f（

9、）+f（1），求an.　　解：（1）由f（x1）+f（x2）=，得+=，　　∴4+4+2m=［4+m（4+4）+m2］.　　∵x1+x2=1，∴（2－m）（4+4）=（m－2）2.　　∴4+4=2－m或2－m=0.　　∵4+4≥2=2=4，　　而m＞0时2－m＜2，∴4+4≠2－m.　　∴m=2.　　（2）∵an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），∴an=f（1）+f（）+f（）+…+f（）+f（0）.　　∴2an=［f（0）+f（1）］+［f（）+f（）］+…+［f（1）+f（0）］=++…+=.　　∴an=.　　深化拓展　　用函数的思想处理方程、不等式、

10、数列等问题是一重要的思想方法.　　【例4】函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.　　（1）证明f（x）是奇函数；　　（2）证明f（x）在R上是减函数；　　（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.　　（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.　　∴f（－x）=－f（x）.∴f（x）是奇函数.　　（2）证明：任

11、取x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）=f（x1）－f［x1+（x2－x1）］=f（x1）－［f（x1）+f（x2－x1）］=－f（x2－x1）.由x1＜x2，∴x2－x1＞0.∴f（x2－x1）＜0.　　∴－f（x2－x1）＞0，即f（x1）＞f（x2），从而f（x）在R上是减函数.　　（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在［－3，3］上的最大值是f（－3），最小值是f（3）.由f（1）=－2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3