必修函数的综合问题

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1、函数的综合问题主讲教师：丁益祥【学前诊断】1.[难度]易函数的定义域为（）．A．　　　B．　　　C．　　　　D．2.[难度]中函数对于任意实数满足条件，若则__________．3.[难度]中对任意函数、在公共定义域内，规定※，若，则※的最大值为_________.【经典例题】例1.设函数上是增函数，函数是偶函数，则的大小关系是_____________.解：∵是偶函数，∴，即是函数图象的一条对称轴．又在（0，2）上是增函数，∴在（2，4）上是减函数.由，得，即．6/6例2．设定义在上的偶函数上单调递减，若，求实数的取值范围.解：∵是偶函数，∴，∴不等式.又在

2、区间[0，2]上单调递减，∴解得.故实数的取值范围是．例3．如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（）.A.B.C.D.解法1：设，，则，并且，．若，则在区间上是增函数，而在区间上也是增函数，根据复合函数“同增异减”，故在上必为增函数（因为a>1，且，所以t>1）．又的对称轴为，因此．解得这与矛盾；若，则在区间上是减函数，而在区间上是6/6增函数，故在上必为减函数（因为0

3、而才有可能使得在区间上是增函数．由此大致范围可否定选项A、C、D，因此选B．例4.如图它们的横坐标分别是，，，（1）设；（2）求.解：注意到函数的图象与函数的图象关于轴对称，因此，可以把问题转化为通过函数的图象来研究．（1）过三点分别作轴的垂线，垂足分别是．6/6则．（2）因时，，即．例5.对于函数，若的“不动点”：若，则称的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即.（1）设函数;（2）若函数；（3）求证：.解：（1）由，即，得；，令，得．所以集合．(2)函数没有不动点，即方程无解，也即无解．所以。（3）证明：若，则显然成立；若，设为中的任意一个元素，则

4、，所以，故，所以.6/6【本课总结】1.在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用.综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件.2.函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要

5、熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.3.函数的综合应用主要体现在三个方面：（1）函数内容本身的相互综合，此类问题要注意函数的概念、图象、性质等知识的综合应用；（2）函数与其他知识的综合，函数几乎可以与其他所有知识建立联系，处理此类问题，要注意广泛联想，灵活运用相关知识进行求解；（3）函数与实际问题的综合，此类问题重点在于模型的构造和函数关系的建立.【活学活用】1.[难度]中已知是上的减函数，那么的取值范围是（）．A.（0，1）B.（0，）C.D.2.[难度]中设函数若，则实数的取值范围是（）．A．（-1，0）∪（0，1）B．（-∞，-1）∪（1,+∞）C．

6、（-1，0）∪（1,+∞）D．（-∞，-1）∪（0,1）6/63.[难度]难已知定义域为R的函数是奇函数，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）证明：函数在R上是减函数；（Ⅲ）若对任意的实数t，不等式恒成立，求的取值范围.(3)=f(2t²-k)…………………t²-2t＞2t²-k，即k＞t²+2t=(t+1)²-1恒成立当t=-1时,[(t+1)²-1]min=-1,所以k＞-16/6