妙用点差法_教案

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1、妙用点差法武汉市第六十八中学谢雪梅一、教学目标1、知识与技能目标：掌握解决圆锥曲线中点弦等问题的方法---点差法。2、过程与方法目标：综合运用方程思想、数形结合、等价转换等方法解决问题，培养学生自主学习，综合分析能力。3、情感态度与价值观：培养学生严谨的数学思维，提高学生知识迁移意识。二、重难点1、重点：点差法的灵活运用。2、难点：灵活使用点差法解决圆锥曲线中点弦等问题。三、教学过程1、提出问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236+y29=1所截得的线段的中点，求直线l的方程．解法一（根与系数关系法）：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝

2、0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－．所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0．解法二（点差法）：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．1、小结点差法若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

3、我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。2、猜想并论证定理1在椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k，则k=-b2a2∙x0y0证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又1、类比定理2在椭圆y2a2+X2b2=1（a＞b＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k，则k=-a2b2∙x0y02、练习1若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1

4、)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．3、练习2已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1解析：选B　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有两式作差得＝＝＝，又AB的斜率是＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以双曲线标准方程是－

5、＝1．1、猜想并论证定理3在双曲线  x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k，则k=b2a2∙x0y0证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又1、类比定理4在双曲线y2a2-x2b2=1（a＞0，b＞0）中，若直线与双曲线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k，则k=a2b2∙x0y02、练习3已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程．解：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物

6、线上，∴y＝6x1，y＝6x2．两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．①∵y1＋y2＝2，代入①得k＝＝3．∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0．3、猜想并论证定理5在抛物线y2=2mx（m≠0）中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为k，则k=my0注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在证明：设M、N两点的坐标分别为、，则有，得又...1、类比定理6在抛物线x2=2my（m≠0）中，若直线与抛物线相交于M、N两点，点Px0,y0是弦MN的中点，弦MN所在的直

7、线的斜率为k，则k=x0m注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.2、练习4直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝(　　)A．2或－2B．1或－1C．2D．3解析：选C　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0．又由Δ＝16(k＋2)2－16k2>0，得k>－1．则由＝4，得k＝2．故选C．想一想：还有更简单的方法吗？