劳斯判据根轨迹幅值和相角方程

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1、线性控制系统工程第9单元劳斯判据根轨迹：幅值和相角方程系统稳定性:只要有一个闭环极点位于复平面的右半平面，系统就不稳定。0)()(1=+sHsG劳斯稳定判据特征方程表示为多项式的形式:Step1:所有系数为正;(必要条件)Step2:劳斯阵列第一列元素的符号无改变。(充分条件)…0122110=+++++---nnnnnasasasasa劳斯阵列0122110=+++++---nnnnnasasasasaaaaa-170613150412130211aaaaabaaaaabab-=-==141713131512121311bbaabcbbaabcbbaabc-=-=-=cbbc-1

2、41413131312121211ccbbcdccbbcdcd-=-==………LLLMMMMMMMMLLLLL......----102113212432144321343212753116420::::::::gsffseeesddddsccccsbbbbsaaaasaaaasnnnnn系统是稳定的例1:P14801346234=++++ssss1:028.1:150.3:036:141:01234sssss例2:P148S4:135S3:240S2:150S1:-600S0:500有两个闭环极点位于复平面右半平面，系统不稳定。05432234=++++ssss一些特殊的情况:1S

3、4:141S3:210(1/3)S2:3.510S1:0.4300S0:1001346234=++++ssss20133234=++++ssss可见第1列的符号改变了2次，有2个根位于有右半S平面。某行有一个系数为零,用无穷小数ε代替,最后取极限0161620128223456=++++++ssssss3整行为零,用上一行的系数作辅助方程P(S)劳斯判据的其他应用1分析系统参数对稳定性的影响例3－8特征方程：稳定的必要条件：所以K的取值范围：临界放大系数：2确定系统的相对稳定性利用坐标平移σ根轨迹方法:幅值和相角方程根轨迹方法提供了一种直接图解法用来“解”特征方程，从而在复平面上显

4、示出闭环极点的位置。特征方程:或写出其幅值和相角方程：根轨迹方法：(1)求得满足相角方程的所有s值。(2)求得满足幅值方程的特定s值。0)()(1=+sHsGjsGH01)(+-=o180)(1

5、)(

6、-=Ð=sGHsGHGH图.8.1一般的反馈控制系统R+EC′C-一般的开环传递函数可定义为：()()()()ååååÕÕÕÕ========-=-Ðïïïîïïïíì-=+Ð-+Ð=++Þ++nkkmiinkkmiinkkmiinkkmiipszspszsKpszsK111111111801801ooab例1(1)设st=-0.5(2)设st=-0.5±j0.5()()ïîïíì+Ð

7、+Ð-Ð=+.

8、.å-=o1801011

9、1sss

10、s

11、K)1()(+=ssKSGH满足相位方程满足相位方程stImRe-1图.9.3s和的相角st1st2离开实轴穿过s=-0.5的实轴垂直线上的所有st都满足相角方程KKs-±-=-±-=25.05.02411KsssGH=++=+0)(12K=1.5Im1.00.5-0.5K=0.5K=0.25K=0K=0.5-0.5-1Re1/图.9.7随着增益变化的闭环极点的位置例2解:1画出s平面；2将开环极点和零点标记在s平面上；3找出实轴上的根轨迹；4计算根轨迹上特定闭环极点的增益值。)3)(2()1()(+++=sssKsGH5确定根

12、轨迹的起始点和终止点位置。(k=0)图.9.9GH(s)=K(s+1)/(s+2)(s+3)的根轨迹Im!Re-3-2-1