34-6 劳斯稳定判据

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1、§3控制系统的时域分析§3.7控制系统的稳定误差§3.1典型的试验信号§3.2一阶系统的时域响应§3.3二阶系统的时域响应§3.4高阶系统的时域响应§3.5线性定常系统的稳定性§3.6劳斯稳定判据课程回顾§3.6劳斯稳定判据于是便提出这样一个问题，能否不用直接求特征根的方法，而根据特征方程式(即高次代数方程)根与系数的关系去判别系统的特征根是否全部具有负实部的间接方法来分析控制系统的稳定性。控制系统稳定的条件是其特征根均需具有负实部。因此判别系统稳定与否，就变成求解特征方程的根并校验其特征根是否都具有负实部的问题。但是当系统阶次高于3

2、时，在一般情况下，求解其特征方程将会遇到较大的困难。因此，通过直接求解特征方程，并按求得的特征根分析系统稳定性的方法是极不方便的。劳斯稳定判据就是这样一种勿须求解特征方程，而通过特征方程的系数分析控制系统稳定性的间接方法。设系统的特征方程式为将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数(1)劳斯（Routh）判据1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在s平面的左半平面，相应的系统是稳定的。用同样的方法，求取表中其余行

3、的系数，一直到第n+1行排完为止。劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变换，去判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：2）如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。§3.6劳斯稳定判据例1：已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别该系统的稳定性。解列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有两个根在s的右半平面，因而系统是不稳定的。试用劳斯判据判别该系统的稳定性。例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0s4s3s

4、2s1s0解：列劳斯表171052劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。1010(2)劳斯判据特殊情况处理s3s2s1s0解：列劳斯表1-3e2劳斯表第一列元素变号2次，有2个正根，系统不稳定。0例3：D(s)=s3-3s+2=0，判定在右半s平面的极点数。若某行第一列元素为0，而该行元素不全为0时:将此0改为，继续运算。2例4：(2)劳斯判据特殊情况处理解：列劳斯表劳斯表的某一行中，所有元都等于零如果在劳斯表的某一行中，所有元都等于0，则表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全0行的上一行各元构造一

5、个辅助多项式（称为辅助方程）。以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表的这个全0行，然后继续计算下去。这些大小相等而关于原点对称的根也可以通过求解这个辅助方程得出。(2)劳斯判据特殊情况处理解：列劳斯表1123532025s5s4s3s2s1s05250010250列辅助方程：例5：D(s)=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0出现全零行时，系统可能出现一对纯虚根；或一对符号相反的实根；或实部与虚部分别等值且反号的的共轭复根。出现全零行时：用上一行元素组成辅助方程，将其对S求导一次，用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。

6、解：列劳斯表10-120-2s5s4s3s2s1s00-216/e08-20列辅助方程：例6：D(s)=s5+2s4-s-2=0e第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j)(s-j)应用Routh判据分别研究一阶、二阶和三阶微分方程容易得到以下的简单结论：（1）一阶和二阶系统稳定的充分必要条件是：特征方程所有系数均为正。（2）三阶系统稳定的充分必要条件是：特征方程所有系数均为正，且劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化判别特征方程式的根在s平面上的具体分布，其结论是：2）如果劳斯表中

7、第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在s平面的右半平面上的个数，相应的系统是不稳定的。1）如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根在s平面的左半平面，相应的系统是稳定的。§3.6劳斯稳定判据例7:-s2-5s-6=0稳定吗？§3.6劳斯稳定判据例8:设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②由零行的上一行构成辅助方程:s2+1=0对其求导得零行系数:2s1211继续计算劳斯表1第一列全大

8、于零,所以系统稳定错啦!!!劳斯表出现零行系统一定不稳定求解辅助方程得:s1,2=±j由综合除法可得另两个根为s3,4=-2,-3①有大小相等符号相反的特征根时会出现零行应用劳斯判据不仅可以判别系统稳定性，即系统的绝对稳