关于数学观的变化漫谈

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1、关于当今数学观的变化20世纪下半叶数学发生了重大变化，这是数学教育改革的一个基本立足点。在综合性大学、理工科大学的教学改革文件中，已经多次提到这种变化。未来的高中数学课程标准，从未来高中数学教师所应具备的的数学修养提出了新的视角要求用数学现代化的观点审视高等师范院校数学系的课程设置。　　1.数学发展的历史进入了新阶段　　在2000年8月于东京举行的国际数学教育大会上，日本著名数学家藤田宏在一小时的大会报告中指出：人类历史上，数学发展经历了以下四个阶段：　　●古希腊以欧几里得<几何原本>为代表的演绎数学；　　●17世纪以牛顿、莱布尼兹为代表的微积分数学；　　●19世纪到20世纪初，

2、以希尔伯特为代表的现代公理化数学；　　●20世纪下半叶，一计算机技术为代表的信息时代数学。　　我们正处在一个崭新的数学时期之中。信息时代的数学和牛顿时代的数学有许多相似之处：数学问题来自实际，数学和其他科学密切联系，数学和生产力发展紧密有关，数学的理论呈现蓬勃发展的态势。数学已经发展到新阶段，但是我们的数学观念，也许还停留在第三阶段，即偏重纯粹数学的公理化、形式演绎、逻辑推理的层面。对于数学的直觉思维、发散创新；以及数学应用、数学与计算机技术、数学与其他学科的联系方面，则不予重视，甚至轻视。这种数学观上的过度倾斜，往往成为高师数学教育改革的障碍。　　在中学数学教学中，把数学等同于

3、逻辑，崇尚形式化演绎而轻视数学应用的倾向，主要是受高师数学系的影响。在高师数学界，应用数学的队伍比较弱，应用数学的呼声不高，存在着某种程度上的不平衡。　　2.数学从社会的幕后走到了台前　　自1995年以来，国内外许多著名的数学家十分强调数学的应用。　　1996年5月，北京大学数学系教授、姜伯驹院士在“国家数学与力学教学指导委员会”第二次工作会议上这样说：“我记得我做学生的时候，老师讲数学的重要性，就是两句话：数学是思想的体操，数学是科学的语言。数学要通过其他科学发挥作用。但是，现在数学已经不必通过其他学科，而直接在科技前沿发挥作用了。很多高精尖的东西根本上取决于控制，完全靠数学模

4、型。数学已经从幕后走到前列了。”　　“数学往往是最后取胜的法宝。数学用得好，你就赢了。”　　“数学在20世纪下半叶有很大的发展，其中最大的发展是应用。跟第二次世界大战以前不一样现在到处在用数学，多的地方在试图用数学。因此，数学系、数学专业起什么作用？如果还是培养数学家、数学教授，就业的情况摆在哪儿，社会的需求量不是很大。学系是毕业生，相当多的人，甚至多一半的人，要到其他行业里去起作用。”（引自《中国数学会通讯》1996年第9期）　　1995年，时任国际数学家联合会主席D.芒福特（Mumford，1974年以研究代数曲面簇的工作获费尔兹奖）在巴黎答记者问时这样说：“一个重要的问题是

5、恢复纯粹数学家和应用数学家之间的思想交流。在19世纪，你可以看到大多数的数学家都是一身二任的。例如傅立叶（Fourier）发现和研究级数，就是受了应用的刺激。但以后发生了分隔，尤其在美国。……对科学的投资，将不至于简单地化很多钱去搞纯粹数学研究，而是相反，应当引向一个共同目标，使得纯粹数学研究人员能在应用中受到启发，运用他们的理论思维更有效地解决实际问题”（引自<中国数学会通讯>1996年第3期）　　以上的引语，是两位纯粹数学家在担任数学团体公职时发表的谈话。这清楚地表明，数学在20世纪下半叶确实发生了变化。数学已从社会活动的幕后走到台前，直接在生产过程、经济管理、金融活动、航空

6、航天等科技前沿发挥作用，产生经济效益。以前在代数、几何、分析等纯粹数学领域工作的专家，必须关注工程控制、图象处理、模糊识别、运筹优化、模型实验等等科学问题。数学在变，高师数学系的课程当然要跟着变了。　　3.走出数学绝对主义的孤岛　　数学的绝对主义思潮曾经风靡一时，在我国数学界的传播十分广泛，直到今天，它对我国的数学教育仍然有很大的影响。　　●数学的形式主义学派曾经希望把数学真理奠定在公理体系之上，完全避免客观的经验事实。这一梦想，早在1930年代，就被哥德尔的两个不完备性定理所粉碎。拉卡托斯的《证明与反驳》的出版，标志着经验主义的复兴。　　●布尔巴基学派提倡的结构主义数学，在19

7、50年代曾经十分流行，对世界数学发展作出了重要贡献。但是，作为现代公理化数学的积极倡导者，在1970年前后开始衰落。计算机技术为代表的数学技术迅速兴起，数学家开始转向更加具体问题的研究。值得回味的是，当布尔巴基学派走向下坡路的时候，我们却在1980年前后广泛宣传布尔巴基的成就，并未提到它的局限和缺陷。究其原因，还是“形式主义”“绝对主义”数学情结的反映。　　●数学创造和逻辑证明的功能需要区别对待。1994年，A.贾弗（Jaffe）和A.奎因（Quine）在《美国数学会公报（Bul