如何从多重变化因素中解脱出来1

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1、突破相互制约实现成功解脱————浅谈多参数问题的处理策略江苏省丹阳高级中学史建军(212300)近几年的高考题不仅重视了对含参数问题的考查，而且似有参变因素多元化的趋势，这些参数之间相互制约，相互影响，“牵一发而动全身”。此类问题分析要求高、思维难度大，学生常陷于盘根错节的参数关系中而无法理清头绪，或者难以确定突破方向而无从下手，或者盲目下手，因繁复不堪而后继乏力。如何引导学生从多重变化因素中解脱出来？应引起人们的思考、探索与关注。笔者对此作了初步的探讨。一、从诸多变化因素中恰当消去参数解决含有多重变化因素问题的主导思想是善于洞察具体问题的特点，尽量减少参变因素。其途径之一就是恰当消参。例

2、1设，且，求抛物线被x轴截得弦长的取值范围。分析：∵，且，∴∴抛物线与x轴有两个不同交点，即方程有两个不相等的实根，且对多元参数式，我们利用条件消元，把代入得：故为的二次函数，以下确定的范围：由得而在上为减函数，的范围为.二、从诸多变化因素中剔除假变因素有些问题中变化因素纷繁复杂，但只要静心考察，便可发现有时某些似乎变化的因素只是“凑凑热闹”而已。其中有的是利用题设条件便可剥去变量的“外衣”而转化为可以待定的常数(即为假变数)；有的尽管变化不定，而实质上对问题的研究没有丝毫的影响。如能排除这些“假变因素”，便能减少参变因素，揭开问题的本质，有利于问题的解决。例2已知直线平面M于定点B，是平

3、面M内过定点A而不过点B的任一直线，.在上分别有动线段(5为定值)。试问在什么情况下，四面体PQRS取得最大体积？其最大体积是多少？分析：本题中的变化因素有三种：动线段PQ、RS及动直线.随着P、Q位于平面M的异侧或同侧，分别等于与的和或差，因而总有.即与的面积有关，而为定值，故与点B到的距离有关，这又取决于与AB所称角的变化。上述表明动线段PQ、RS的变化均对体积无影响，属“假变因素”。除去假象后，被掩盖了的本质因素便暴露出来。设与AB所成的角为，则，从而，显然当即AB为的公垂线段时，取得最大值.三、从诸多变化因素中窥探不变因素动中求静、变中求定是解决数学问题的重要思想方法。这在解决含有

4、多重变化因素的问题中更有其特殊的功效。例3当实数变化时，直线一直线恒有一个相同的公共点。问点应在怎样的曲线上？分析：本题中参变数较多，初看上去难以回答。注意到的方程表示直线系，且可化为，知此与a,b无关，从而：，得.即恒过定点.发现了这一不变因素，问题的答案便显而易见：恒有一个相同的公共点的充要条件是点恒在直线上，即满足，故点在抛物线上。四、从诸多变化因素中挖掘直观因素对于“含参”问题一般较为抽象，解题中应充分运用函数的图像、善于根据术式构造图形、借助几何知识或抓住某些参数的几何意义等手段，力求使抽象问题具体化、直观化。例4已知是实系数方程的两根，且，求5的取值范围。分析：令，则由方程的两

5、根分别在与之间可知：Q(1,2)B(−3,1)A(−1,0)C(−2,0)bOa如何在条件（*）制约下，求二元函数的取值范围？我们把问题转变为平面内在条件（*）制约下的目标函数的取值范围。的几何意义为条件（*）所给定的区域内的点与定点之间连线的斜率，由图可知，，计算得.∴的取值范围是五、从诸多变化因素中分清主变因素多参数问题含有两个或两个以上变元，我们在解题进程中，可视其中一个为主元，其余视为参数，便可降低思维难度，化多元问题为一元问题。例5(2004福建高考)已知在区间上为增函数。⑴求实数a的值所组成的集合A；⑵设关于x的方程的两根为，试问：是否存在实数m，使得不等式对任意及恒成立？若存

6、在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。分析：本题含有3个参数，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，即可化为单参数问题。解：⑴，由题设在上为增函数，故在上恒成立，即在上，，即恒成立。令，则问题等价于5对，是连续函数，且只有当时以及当时⑵由，得，而∴∵由于不等式对任意及恒成立，∴，即恒成立。记，则有对恒成立，∴或.∴存在实数m，使得不等式对任意及恒成立，其取值范围是：或.六、从诸多变化因素中寻求制约因素在诸多变化因素之间，往往满足某种特定的条件或存在某些隐含的制约因素，如能理顺有关变元之间的关系并且充分地加以运用，就可在“多参”、“多变”中穿梭自如，不至于迷失方向。例6(20

7、07高考江苏卷)已知是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和.⑴若是大于的正整数，求证：；⑵若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；⑶(略)5分析：题中涉及的参数较多：等差数列的公差d，等比数列的公比以及，令人眼花缭乱，无从下手。但如果考虑到⑴⑵所要证明的结论都仅与等比数列有关，而在已知首项的前提下，等比数列的关键制约因素是其公比，因此可以认为是众多变化因素中的制约因素，解题思路可紧紧围绕展