数学思维与数学能力

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1、第六章数学思维与数学能力[教学目标]了解数学思维的种类、含义方法；理解数学能力的基本内涵与特征，熟悉中学数学教学培养数学能力的方法与途径。[学时]4[教学方法]课堂讲解；课例讨论[重点、难点]数学思维与数学能力的意义[教学过程]§6-1数学思维与数学基本能力的培养一、数学思维（Mathematicalthinking）1、思维的种类根据思维过程中的凭借物或思维形态不同，可将思维分为动作思维，形象思维和抽象思维三大类。动作思维，就是在思维过程中依赖实际动作为支柱的思维，其特点是：任务是直觉的，以具体形式给予的。其解决方法是实际动作，动作停止，思维也即停止。例如：动手做、折纸等

2、。形象思维，是由表象或凭借事物的知觉形象来进行分析、综合、抽象、概括的过程。这种思维的基本单位是表象。例如：空间观念、函数图象、向量。抽象思维，是以概念、判断、推理的形式来反映客观事物的运动规律，以达到对事物本质特征和内在联系的认识过程。思维的其他分类：再现性思维和创造性思维（智力品质）；发散性思维和聚合（集中）思维（指向性）；（求异）（求同）直觉思维（顿悟）和分析思维。在数学学习中，随着学习内容的不断加深和抽象概括水平的逐步提高，学生的数学思维也逐步由直观行动的动作思维发展到具体形象思维，再发展到抽象的逻辑思维。同时，由于数学思维的复杂性，年龄的增长，学习内容的综合，这三

3、种思维成分之间往往又是相互渗透的。数学思维最主要形式是逻辑思维及分析思维。2、数学思维的基本成分形象思维、抽象逻辑思维及直觉思维是数学思维的基本成分。（1）形象思维数学虽以其抽象性、严谨性著称，但数学思维中也有形象思维的成分。这里人们建立在理解数学概念的基础。在数学科学的演绎体系中，从原始概念到命题、结论，无一不是从具体事物中抽象出来的理想事物。以图表为例。在数学中，图不仅是研究的对象，而且也成为重要的数学语言，是对数学进行思维表达的工具。用图形表现数学内容能化抽象为具体、化深奥为浅显，从而有利于抽象数学内容的识记、保持和运用。形象思维，具备思维的各种特性。它的主要心理成分

4、有联想、表象，想象和情感。（2）抽象逻辑思维它是以概念、判断、推理的形式来进行的思维。它是一切正常人的思维，是人类思维的核心形态。数学中的抽象逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。l抽象思维又分为经验型抽象思维和理论型抽象思维。一般地，小学——形象思维为主初中——经验型抽象思维高中——经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡大学——理论型抽象思维l辩证思维，是抽象逻辑思维发展的高级阶段。这种思维依据的不是形式逻辑，而是辩证逻辑。所谓辩证逻辑是同形式逻辑相比较而存在，并且是在形式逻辑的基础上发展形成的，所以它属于高等逻辑。辩证逻辑的概念具有灵活性和具体性，强调思维反映事物的内在矛

5、盾。在数学中有丰富的辩证法思维。恩格斯说：“数学，辩证的辅助工作和表现形式。”例如：正与负，常数与变数，微分与积分，直线与曲线等（对立统一）数与形（如曲线和方程，倾向和斜率等）（矛盾转化）分数与整数，有限和无穷（量变质变）导函数的产生是对原始函数的“否定之否定”的结果。还有：个别到一般，相对到绝对，从有限认识无限等，必然中之偶然。（3）直觉思维直觉思维，就是具有意识的人脑对于数学对象、结构以及规律性关系的敏锐的想象和迅速的判断。它包括两个方面，一是判断（洞察），二是想象，并且二者有机结合。l“判断”，是指人脑对数学对象以及结构关系的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断；l

6、“想象”，是指人对脑中已有的表象进行加工改造，创造出新形象的过程。布鲁纳指出，直觉思维“它不是一按仔细的规定好的步骤前进为其特征的”，“总是以熟悉牵涉到的知识领域及其结构为根据，使思维者可能实行跃进、越级和采取捷径；多少需要用分析的方法——不论演绎法或归纳法，重新检验所作的结论。”数学直觉思维往往会表现在灵感直觉和普通直觉两个方面。它具有潜逻辑性、无意识性（自发性、不可解释性及随机性）的特征。概括地说，所谓数学直充思维就是大脑基于有限的数据资料和知识经验，充分调动一切与问题有关的显意识和潜意识，在敏锐想象和迅速判断有机结合下，从整体上单刀直入地领悟数学对象的本质，洞察数学结

7、构和关系的一种思维。这种思维的实质，是对数学对象及其结构、关系的想象和判断。二、数学基本能力能力是直接影响活动的效率，使活动顺利完成的稳定的个性心理特征。有以下要点：①能力是活动中表现出来的；②能力是影响活动效果的；③能力是稳定的个性心理特征。智力是属一般的能力。它是观察力、记忆力、注意力、想象力、思维力的总称。但，数学成为是要反映出数学特点的。因此它是一种特殊的心理能力。中学数学教学里提到的数学基本能力是：运算能力，逻辑思维能力和空间想象力；还有分析问题、解决问题的能力，创新意识（精神）。两种数学能力的区分：学习