函数推理题综述

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1、函数推理题综述210008江苏省南京外国语学校李平龙函数是中学数学的核心内容，是连接高等数学的桥梁与纽带。由于函数推理题着重考查考生的逻辑思维能力和抽象概括能力，因此已成为高考命题改革的新热点；函数推理本质上属于演绎推理，这种推理方式在高等数学中被大量采用，颇受高考命题专家的青睐；由于函数推理题具有题型的新颖性、内容的综合性、解法的灵活性、思维的抽象性，使其不可避免地成为教与学的难点。本文就此种推理题的常见类型及其相应的思维策略综述于下，供参考。1关于具体函数的推理已给出函数解析式的函数推理问题，常体现为多种基本初等函数的复合与迭加，因此在对

2、具体函数进行推理时，务必充分利用“非知识型的结论”提高思维的深远度，对能作出草图的函数应注意借助于函数的图象增强问题的直观性达到捕捉解题信息之目的，但在推理过程中务必协调好“直觉”与“逻辑”间的关系。1．1关于指对数函数的推理例1设函数（1）判断该函数的单调性，并加以证明；（2）已知该函数的反函数为，问函数的图象与x轴是否有交点？若有交点，求出交点的坐标；若无交点，说明理由。分析：题中函数是由一次分式函数先与对数函数复合，再与一次分式函数迭加而生成的，因此关于函数单调性的“同增异减法则”便成为我们发现结论的重要手段：因与在函数的定义域内均为减

3、函数，故在其定义域内也是减函数，将此“跳跃式”的发现过程“逻辑化”后便可产生题（1）的简捷证明；由于难以求出题（2）中反函数的解析式，因此利用互反函数的图象关于直线y=x对称进行“正逆”间的转换，便是推理论证的必由之路。证明：（1）当时，∵，，∴，，从而，故在其定义域上是增函数。（2）∵，∴，这说明反函数的图象与x轴有交点，且交点坐标为。评注第10页共10页：若用单调函数的定义直接作差探索，则极易在繁杂的数式变形中迷失方向；而靠直觉导航，既避免了盲目作差，又增强了推理的有效性，且证题过程中逻辑的作用只不过是履行手续而已。数学解证题中看出结论的

4、能力是数学素质高低的重要表现。若改变本例结论的呈现方式：求证存在反函数或求证图象上任意相异两点连线的斜率小于零或探索图象上是否存在相异两点使其连线平行于x轴，则问题的本质并未改变。例2函数，正数a、b满足。求证：。分析：函数的图象是函数知识的源头活水，从图象出发有助于捕捉推理信息、发现推理方向。作出函数的图象后（图略），便可发现重要信息：，利用对数函数的单调性即可证明该信息。然而，它却帮助我们顺利地渡过推理难关——去掉绝对值符号。证明：由。进而有，再一次由去掉绝对值符号得，即，，又∵，∴，解此不等式并结合可推出。评注：在函数推理中，函数的图象

5、可助你思考，帮你捕捉有益的信息，但它不能代替“数”上的演绎推理，即形上的信息必须经过严密的证明方可运用。读者可补上的证明。1．2关于的推理函数由基本初等函数正比例函数与反比例函数迭加而生成的，研究其图象、性质及其应用，无疑是课本知识的自然延伸。当时，其图象如右图所示，它是以直线为渐近线的奇函数，在时有最小值，单调递增区间是、，单调递减区间是、。涉及函数第10页共10页应用的推理题主要有，解证不等式、函数观点下方程与不等式解的探索、函数在区间上的最值及与此相关的恒不等式问题，但应用最为广泛的应属该函数的单调性，它在协调应用和积不等式求该类函数的

6、最值“失灵”时具有独特的功能。例3已知函数为奇函数，且不等式的解集是。（1）求；（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。解：（1）由奇函数对定义域内一切自变量x都成立，知b=0（注：若从f（0）=0出发，则得b=0；此举既非等价转换，又难以保证f（x）对0有定义，当属思维肤浅之表现）。至此，。若从出发得或，再去求不等式组的解集，则必然导致繁冗的分类讨论。而抓住不等式的解集是进行赋值推理（属非等价转化），则有，即，得这一信息有效地避免了分类讨论，再行等价转化便较为简捷。由知，故（Ⅰ）或（Ⅱ）。由题

7、意知，不等式组（Ⅰ）的解集必为[2，4]，不等式组（Ⅱ）的解集必为[，不难求得a=2。综上知，a=2，b=0，。（2）由（1）知，它在上是增函数，而，所以的值域为，而，故使不等式恒成立的m不存在。评注：诸多函数应用性问题建模后常转化为研究函数的性质，如1997年高考的运输成本问题。对涉及函数第10页共10页的客观性试题，由于不需解题过程，因此，抓住前述非“知识”性的结论、尤其是图象，常可直接发现结论；而对主观性试题，若能抓住它的图象，则常可使我们高瞻远瞩地看出结论，有利于对问题进行整体把握，解题者只要协调好直观与逻辑的关系，例行公事地补充必要

8、的推理或证明，便可使问题获解。1．3关于二次函数的推理二次函数是重要的基本初等函数，是初高中内容衔接的典范，以此为载体的推理题主要体现为最值及实根分布等两类问题。例