2007年高考数学试题江西卷（理科）

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中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学全解全析本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分．第I卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率其中表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简的结果是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：=，选C2．（　　）Ａ．等于Ｂ．等于Ｃ．等于Ｄ．不存在解析：=，选B中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料3．若，则等于（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：由得，所以=，选A4．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C5．若，则下列命题中正确的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：用特殊值法，取ｘ＝可排除B、C，取x=可排除A，选D6．若集合，，则中元素的个数为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：画出集合N所表示的可行域，知满足条件的N中的点只有（0，0）、（1，0）、（1，1）和（2，1）四点，选C7．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　　）Ａ．点是的垂心Ｂ．垂直平面Ｃ．的延长线经过点Ｄ．直线和所成角为解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料，B正确；根据对称性知C正确。选D8．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为，，，，则它们的大小关系正确的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为，最低为，选A9．设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外Ｄ．以上三种情形都有可能解析：由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选A10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B11．设函数是上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解析：因为是可导偶函数，所以的图象关于y轴对称，所以中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料在x=0处取得极值，即，又的周期为5，所以，即曲线在处的切线的斜率0，选B12．设在内单调递增，，则是的（　　）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：P中f（x）单调递增，只需，即m≥0，故P是q的必要不充分条件，选B2007年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第II卷注意事项：第II卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试卷题上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．设函数，则其反函数的定义域为．解析：反函数的定义即为原函数的值域，由x≥3得x-1≥2，所以，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）14．已知数列对于任意，有，若，则．解析：由题意得，填415．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为．解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填216．设有一组圆．下列四个命题：Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料Ｄ．所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是．（写出所有真命题的代号）解析：圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。填B、D三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数在区间内连续，且．（1）求实数和的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以，由，即，．又因为在处连续，所以，即．（2）由（1）得：由得，当时，解得．当时，解得，所以的解集为．中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料18．（本小题满分12分）如图，函数的图象与轴交于点，且在该点处切线的斜率为．（1）求和的值；（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．解：（1）将，代入函数得，因为，所以．又因为，，，所以，因此．（2）因为点，是的中点，，所以点的坐标为．又因为点在的图象上，所以．因为，所以，从而得或．即或．19．（本小题满分12分）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则．（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则，所以，，，．于是，．20．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为．已知，，，，．（1）设点是的中点，证明：平面；（2）求二面角的大小；（3）求此几何体的体积．解：解法一：（1）证明：作交于，连．中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料则．因为是的中点，所以．则是平行四边形，因此有．平面且平面，则面．（2）如图，过作截面面，分别交，于，．作于，连．因为面，所以，则平面．又因为，，．所以，根据三垂线定理知，所以就是所求二面角的平面角．因为，所以，故，即：所求二面角的大小为．（3）因为，所以．．所求几何体体积为．解法二：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，因为是的中点，所以，中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料．易知，是平面的一个法向量．因为，平面，所以平面．（2），，设是平面的一个法向量，则则，得：取，．显然，为平面的一个法向量．则，结合图形可知所求二面角为锐角．所以二面角的大小是．（3）同解法一．21．（本小题满分12分）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．解：解法一：（1）在中，，即，，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．方程为：．（2）设，中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．即，因为，所以．②当不垂直于轴时，设的方程为．由得：，由题意知：，所以，．于是：．因为，且在双曲线右支上，所以．由①②知，．解法二：（1）同解法一（2）设，，的中点为．①当时，，因为，所以；②当时，．又．所以；中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料由得，由第二定义得．所以．于是由得因为，所以，又，解得：．由①②知．22．（本小题满分14分）设正整数数列满足：，且对于任何，有．（1）求，；（3）求数列的通项．解：（1）据条件得①当时，由，即有，解得．因为为正整数，故．当时，由，解得，所以．（2）方法一：由，，，猜想：．中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得因为时，，所以．，所以．又，所以．故，即时，成立．由1，2知，对任意，．（2）方法二：由，，，猜想：．下面用数学归纳法证明．1当，时，由（1）知均成立；2假设成立，则，则时由①得即　　　　　　②由②左式，得，即，因为两端为整数，则．于是　　　　③中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网 中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM上中学学科网，下精品学科资料又由②右式，．则．因为两端为正整数，则，所以．又因时，为正整数，则　　　　④据③④，即时，成立．由1，2知，对任意，．中学学科网学科精品系列资料WWW.ZXXK.COM版权所有@中学学科网