2011年高考江西卷理科数学试题及答案

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源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷）参考公式：样本数据（），（），...，（）的线性相关系数其中，锥体的体积公式其中为底面积，为高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则复数A．B．C．D．2．若集合，则A．B．C．D．3．若，则的定义域为A．B．C．D．4．若，则的解集为A．B．C．D．5．已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=A．1B．9C．10D．556．变量X与Y相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；变量U与V相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.comA．B．C．D．7．观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为A．3125B．5625C．0625D．81258．已知，，是三个相互平行的平面．平面，之间的距离为，平面，之间的距离为．直线与，，分别相交于，，，那么“=”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是A．（，）B．（，0）∪（0，）C．[，]D．（，）∪（，+）10．如右图，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是第Ⅱ卷注意事项：第II卷须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11．已知,·=-2，则与的夹角为 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为13．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是14．若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分。本题共5分。15．（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为15．（2）（不等式选做题）对于实数,若的最大值为四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16．（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望。17．（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，已知．（1）求的值；（2）若，求边的值．18．（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足．（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值． 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com19．（本小题满分12分）设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．20．（本小题满分13分）是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值．21．（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体,找出依次排列的四个相互平行的平面，，，，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，，，，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足：，求该正四面体的体积． 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1—5DBACA6—10CDCBA（1）若,则复数=()A.B.C.D.答案：D解析：，=（2）若集合,则=()A.B.C.D.答案：B解析：（3）若,则的定义域为()A.(,0)B.(,0]C.(,)D.(0,)答案：A解析：（4）若,则的解集为()A.(0,)B.(-1,0)(2,)C.(2,)D.(-1,0)答案：C解析：（5）已知数列的前项和满足:,且,那么()A.1B.9C.10D.55答案：A解析：， 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com（1）变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1).表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则()A.B.C.D.答案：C解析：第一组变量正相关，第二组变量负相关。（2）观察下列各式:则的末四位数字为()A.3125B.5625C.0625D.8125答案：D解析：（3）已知是三个相互平行的平面,平面之间的距离为,平面之间的距离为.直线与分别交于.那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com答案：C解析：平面平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知如果，同样是根据两个三角形全等可知（1）若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：B曲线表示以为圆心，以1为半径的圆，曲线表示过定点，与圆有两个交点，故也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应，由图可知，m的取值范围应是10.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是() 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com答案：A解析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚好是M产生的大圆的半径。二、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分。11．12．13．1014．15．选做题（1）,（2）511.已知，，则与的夹角为.答案：（）解析：根据已知条件，去括号得：，（PS：这道题其实2010年湖南文科卷的第6题翻版过来的，在我们寒假班的时候也讲过一道类似的，在文科讲义72页的第2题。此题纯属送分题！）12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为.答案：解析：方法一：不在家看书的概率=方法二：不在家看书的概率=1—在家看书的概率=1—（PS:通过生活实例与数学联系起来，是高考青睐的方向，但在我们春季班讲义二第一页的第五题已经做过类似题型，那么作为理科生，并且是上过新东方春季班课程的理科生，是不是应该作对，不解释。）13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.解析：s=0,n=1;带入到解析式当中，s=0+(-1)+1=0，n=2;s=0+1+2=3,n=3;S=3+(-1)+3=5,n=4;S=5+1+4=10,此时s>9,输出。（PS:此题实质是2010江苏理科卷第7题得翻版，同时在我们寒假题海班，理科讲义的第200页的第6题也讲过相似的。所以童鞋们再次遇到，应该也是灰常熟悉的。并且框图本来就是你们的拿手菜，所以最对也不觉奇怪。）14.若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.答案：解析：设过点（1，）的直线方程为：当斜率存在时，，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（ 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com），当斜率不存在时，直线方程为：x=1，根据两点A：（1,0），B：（）可以得到直线：2x+y-2=0,则与y轴的交点即为上顶点坐标（2,0），与x轴的交点即为焦点，根据公式，即椭圆方程为：（PS:此题可能算是填空题，比较纠结的一道，因为要理清思路，计算有些繁琐。但是，是不是就做不出来呢，不是的，在我们寒假题海班的时候讲过一道与此相似的题型，也就在理科教材第147页第23题。所以最纠结的一道高考题也不过如此，你们还怕什么？）15选做题（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的直角坐标方程为.答案：。解析：做坐标系与参数方程的题，大家只需记住两点：1、，2、即可。根据已知=所以解析式为：1(2)(不等式选择题）对于实数x，y，若，，则的最大值为.（2）此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，，再解出y的范围，，最后综合解出x-2y+1的范围，那么绝对值最大，就去5（PS:此题作为最后一题，有失最后一题的分量，大家从解题步骤就可看出。所以高考注重的还是基础+基础！）四、解答题：本大题共6小题，共75分。16．（本小题满分12分）解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4即X01234 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.comP（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500所以新录用员工月工资的期望为2280元.17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得即由同边平方得：（2）由，即由由余弦定理得18．（本小题满分12分）（1）设的公比为q，则由成等比数列得即所以的通项公式为（2）设的公比为q，则由得 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com由，故方程（*）有两个不同的实根由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得19．（本小题满分12分）解：（1）由当令所以，当上存在单调递增区间（2）令所以上单调递减，在上单调递增当在[1，4]上的最大值为又所以在[1，4]上的最小值为得，从而在[1，4]上的最大值为20．（本小题满分13分）解：（1）点在双曲线上，有由题意又有可得（2）联立设 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com则………………（1）设又C为双曲线上一点，即有化简得：…………（2）又在双曲线上，所以由（1）式又有得：21．（本小题满分14分）（1）如图所示，取A1A4的三等分点P2，P3，A1A3的中点M，A2A4的中点N，过三点A2，P2，M作平面，过三点A3，P3，N作平面，因为A2P2//NP3，A3P3//MP2，所以平面//平面，再过点A1，A4分别作平面与平面平行，那么四个平面依次相互平行，由线段A1A4被平行平面截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故为所求平面。（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体A1A2A3A4就是满足题意的正四面体，设正四面体的棱长为a，以△A2A3A4的中心O为坐标原点，以直线A4O为y轴，直线OA1为z轴建立如图的右手直角坐标系，令P2，P3为A1A4的三等分点，N为A2A4的中点，有 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com设平面A3P3N的法向量有所以，因为相邻平面之间的距离为1，所以点A4到平面A3P3N的距离解得，由此可得，边长为的正四面体A1A2A3A4满足条件。所以所求正四面体的体积解法二：如图，现将此正四面体A1A2A3A4置于一个正方体ABCD—A1B1C1D1中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角三棱锥，得到一个正方体），E1，F1分别是A1B1，C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体。右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1，则有据A1D1×A1E1=A1M×D1E1，得，于是正四面体的棱长 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com其体积（即等于一个棱长为a的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望.解答：（1）选对A饮料的杯数分别为，，，，，其概率分布分别为：，，，，。（2）。17.（本小题满分12分）在△ABC中，角的对边分别是，已知.（1）求的值；（2）若，求边的值.解：（1）已知整理即有： 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com又C为中的角，（2）又，16.（本小题满分12分）已知两个等比数列，，满足.（1）若=1，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值..解：（1）当a=1时，，又为等比数列，不妨设公比为，由等比数列性质知：，同时又有所以：（2）要唯一，当公比时，由且，，最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根），此时满足条件的a有无数多个，不符合。当公比时，等比数列首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由，可推得符合 源头学子http://www.wxckt.cn特级教师王新敞wxckt@126.com综上：。16.（本小题满分12分）设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（1）已知，，函数在上存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分，（2）已知0