2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第11讲_三角问题

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1、第十一讲三角问题选讲三角既是一个数学分支，同时也是一种数学方法．三角函数是沟通形与数的联系的有力工具，在各数学分支中有着广泛的应用．三角方法是指主动地、有意识地实施三角代换，将一些代数、几何问题迁移到三角函数情境中来，利用三角体系完整的公式去简化、解决问题．同时，借助于三角公式，也可将三角问题转化为代数或其他问题进行求解．另外，三角原于测量与解三角形，三角函数理论在解决生产、科研和日常生活中的实际问题中也有着广泛的应用．A类例题例1函数R)的最小值是.（2005年江苏省数学竞赛）分析题中函数含x与2x

2、的三角函数，可考虑先用三角公式化为x的三角函数，再寻求解题方法．解令，则．当时，，得；当时，，得又可取到,故填．说明三角函数的问题有时也可通过变量代换的方法将其转化为代数问题进行求解，实施转化的前提是熟练掌握和深刻理解三角的公式，如本题抓住二倍角的余弦可表示为单角余弦的二次式这一特征，从而作出相应的变量代换．例2求方程的实数解．分析这是一个具有对称性的无理方程，可考虑用三角代换去掉根号，化有三角方程求解，由于根号里面为x-1与y-1，故联想公式sec2α-1=tan2α，可进行如下变换：x=sec2α

3、，y=sec2β．解由题意知x>1，y>1，可设x=sec2α，y=sec2β，其中，从而x-1=sec2α-1=tan2α，y-1=sec2β-1=tan2β，原方程可化为：sec2α·tanβ+sec2β·tanα=sec2α·sec2β，即，因此有sinβ·cosβ+sinα·cosα=1，即sin2β+sin2α=2，从而sin2β=1，sin2α=1，，因此x=y=2，经检验，x=2，y=2是原方程的解．说明施行适当的三角代换，将代数式或方程转化为三角式或方程求解，这是三角代换应用的一个重要

4、方面，充分体现了三角与代数之间的内在联系．例3已知正三角形ABC内有一条动线段，长为a，它在△ABC三边AB、BC、AC上的射影长分别为l、m、n．求证：．分析动线段在三角形各边上的射影可由动线段的长a和动线段与各边所成角表示出来，因此问题的关键是如何表示出动线段与各边所成角．解设动线段为PQ，长为a，设PQ与BC所成角为θ（0°≤θ≤90°），则PQ与AC所成角为60°-θ，PQ与AB所成角为60°+θ，于是有l=acos(60°+θ)，m=acosθ，n=acos(60°-θ)，因此有l2+m2+

5、n2=a2[cos2(60°+θ)+cos2θ+cos2(60°-θ)]，而cos2(60°+θ)+cos2θ+cos2(60°-θ)==，∴．说明本题也可以利用向量知识求解，读者不妨一试．情景再现1．若，则的取值范围是A．B．C．D．（2005年浙江省数学竞赛）2．求所有的实数x∈[0,],使,并证明你的结论．3．△ABC的三条边长分别为a、b、c．求证：．（2005年江西省数学竞赛）B类例题例4△ABC的内角满足试判断△ABC的形状．分析所给三式结构相同，可将视为的三组解，而又可看作直线方程，又可

6、看作曲线上的三个点，因此本题可考虑用解析几何的方法去求解．证明由题意，为方程的三组解，因此以其为坐标的三点M、N、P都在直线上，又都满足方程，因此三点M、N、P又都在曲线上，所以三点M、N、P都为曲线与直线的交点，而直线与抛物线至多有两个交点，因此M、N、P至少有两个点重合，不妨设M与N重合，则由得A=B，故三角形ABC是等腰三角形．例5已知三个锐角满足．求的最大值．分析注意到条件，联想长方体的性质，构造长方体来求解．解构造长方体，使分别为对角线与三个面所成角，则，设长方体长、宽、高、对角线分别为a、

7、b、c、l，则，，，，，，从而，当且仅当时取等号，因此的最大值为．说明构造几何模型，使三角关系形象化、具体化，构造法是用几何方法解决三角问题的常用方法．例6给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列{an}，求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．（1999年全国联赛一试）分析本题有多种解法，由条件a12+an+12≤M，也可考虑作三角代换，利用三角函数的有界性求解．解设，则，因此最大值为．例7设△ABC内有一点P，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ．求证：co

8、tθ=cotA+cotB+cotC.分析设三边为a、b、c，PA、PB、PC分别为x、y、z，可考虑利用正弦定理、余弦定理来表示出边角关系，进而证明本题．解对三个小三有形分别使用余弦定理得：y2=x2+c2-2xccosθ，z2=y2+a2-2yacosθ，x2=z2+b2-2zbcosθ，三式相加得：2(ay+bz+cx)cosθ=a2+b2+c2，又由正弦定理知，S△ABC=S△ABP+S△PBC+S△PAC=(xc+ay+bz)sinθ，两式相除得