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《2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲染色问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第14讲染色问题本节主要讲述用染色的方法解有关的竞赛题.染色，是一种辅助解题的手段，通过染色,把研究对彖分类标记，以便直观形彖地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就可以看成是奇偶分析的一种表现形式.染色，也是构造抽屉的一个重要方法，利用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理來解题.A类例题例1（1）有一个6X6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格（边长为1）后，剩下的图形能不能剪成仃个1X2的小矩形？（2）剪去国际彖棋棋盘左上角2X2的正方形后，能不能用15个由四个格子组成的L形完全覆盖？分析把
2、棋盘的格子用染色分成两类，由此说明留下的图形不能满足题忖的要求.证明（1）如口二色，使相邻两格染色不同.则剪去图，把6X6棋盘相间染成黑、的两格同色.但每个1X2小矩形都由一个白格一个黑格组成，故不可能把剩下的图形明成17个1X2矩形.⑵如图，把8X8方格按列染色，第1,3,5,7列染黑，第2、4、6、8列染白.这样染色，其屮黑格有偶数个.由于每个L形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L形一定盖住奇数个黑格，故不可能.说明用不同的染色方法解决不同的问题.例2用若干个由四个单位止方形组成的“L”形纸片无重叠地拼成一个mxn的
3、矩形，则mn必是8的倍数.分析易证m门是4的倍数，再用染色法证m门是8的倍数.证明：每个L形有4个方格，故于是m、门中至少有一个为偶数.设列数门为偶数，则按奇数列染红，偶数列染蓝.于是红格与蓝格各有*77门个，而》n门是偶数.每个L形或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p个，后者有q个.于是红格共盖住3p+q个即p+q为偶数，即有偶数个L形.设有2k个L形.于是mn=2kX4=8k.故证.说明奇偶分析与染色联合运用解决本题.1.下面是俄罗斯方块的七个图形:FhvirrfirPP田(2)(3)(4)(5)(6)(7)请
4、你用它们拼出（A）图，再用它们拼出（B）图（每块只能用一次，并且不准翻过來用）.如呆能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号;如果不能拼出来，就说明理由.2.能否用图中各种形状的纸片（不能剪开）拼成一个边长为75的正方形?（图中每个小方格的边长都为1）请说明理由.B类例题例3（1）以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明：一定存在无穷条长为1的线段，这些线段的端点为同一颜色.（2）以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明：存在同色的三点，且其中一点为另两点中点.分析任意染色而乂要求出现具有某种性
5、质的图形，这是染色问题常见的题型，常用抽屉原理或设置两难命题的方法解.证明⑴収边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色.同色两顶点连成线段即为一条满足要求的线段，由于边长为1的等边三角形冇无数个，故满足要求的线段冇无数条.（2）取同色两点&、B,延长至IJ点C,使BC二再延长B4至Q点D,使AD二AB,若C、D中有一点为红色，例如点C为红色，则点B为&C中点.则命题成立.否则，C、D全蓝，考虑屮点M,它也是CD中点.故无论M染红述是蓝，均得证.说明⑴中，两种颜色就是两个“抽屉”，三个点就是三个“苹果”，于是根据
6、抽屉原理，必有两个点落入同一•抽屉.⑵中，这里实际上构造了一个两难命题：非此即彼，二者必居其一•让同一点既是某两个红点的中点，乂是两个蓝点的屮点，从而陷入两难选择的境地，于是满足条件的图形必然存在.达到证明的ri的.例4（1）以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同-•种颜色的等腰三角形.（2）以任意方式对平而上的每一点染上红色或者蓝色.证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰直角三角形.分析⑴同样可以设置两难命题：由于等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，故先选两个同色
7、点连成底边，再在连线的垂直平分线上找同色的点，这是解法1的思路.利用圆的半径相等来构造等腰三角形的两腰，这是解法2的思路.利用抽屉原理，任5个点中必有三点同色，只要这5点屮任三点都是一个等腰三角形的顶点即可，而正五边形的五个顶点屮任三个都是等腰三角形的顶点，这是解法3的思路.⑵连正方形的对角线即得到两个等腰直角三角形,所以从止方形入手解决相题笫2问.（1）证明1任取两个同色点A、B（设同红）,分线MN,若MN上（除与AB交点外）有红色点,形，若无红色点，则M/V上至多一个红点其余均对称的两点C、D,均蓝.则若佔上有（除交
8、点色三角形，若无蓝点，则在矩形EFGH内任取若K为蓝，则可在CD上取两点与Z构成蓝色红，则可在AB上找到两点与之构成红色三角证明2任取一红点0,以O为圆心任作一不是同一直径端点的两个红点&、8,则出现红EDAK・卜CMNHBG作AB的垂直平则有红色三角蓝，取关于AB外）蓝点，则有蓝一点K（不在边上）三角形，若K为形.
