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《2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第14讲染色问题11110》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第14讲染色问题本节主要讲述用染色的方法解有关的竞赛题.染色，是一种辅助解题的手段，通过染色,把研究对彖分类标记，以便直观形彖地解决问题，因此染色就是分类的思想的具体化，例如染成两种颜色，就口J以看成是奇偶分析的一种衣现形式.染色，也是构造抽屉的一个重要方法，利用染色分类，从而构造出抽屉，用抽屉原理来解题.A类例题例1（1）有一个6X6的棋盘，剪去其左上角和右下角各一个小格（边长为1）后，剩下的图形能不能剪成17个1X2的小矩形？（2）剪去国际象棋棋盘左上和2X2的正方形后，能不能用15个由以个格子组成的L形完全覆盖？分析把棋盘的格子用染色分成两类，「II此说明留下的图形不
2、能满足题目的要求.证明（1）如口二色，使相邻两格染色不同.则剪去图把6X6棋盘相间染成黑、的两格同色.但每个1X2小矩形都山一个白格一个黑格纽成，故不可能把剩下的图形剪成17个1X2矩形.（2）如图，把8X8方格按列染色，第1,3,5,7列染黑，第2、4、6、8列染白.这样染色，其中黑格有偶数个.山于每个L形盖住三黑一白或三白一黑，故15个L形-•定盖住奇数个黑格，故不可能.说明川不同的染色方法解决不同的问题.例2川若干个由四个单位正方形组成的“L”形纸片无重叠地拼成一个mx门的矩形，则m门必是8的倍数.分析易证m门是4的倍数，再用染色法证m门是8的倍数.证明：每个L形有4
3、个方格，故4mn.于是m、门中至少有一个为偶数.设列数门为偶数，则按奇数列染红，偶数列染蓝.于是红格耳蓝格各有m门个，而m门是偶数.每个L形或盖住3红1蓝，或盖住1红3蓝，设前者有p个，后者有q个.于是红格共盖住3p+q个即"q为偶数，即有偶数个L形.设有2k个L形.于是mn=2kX4=8/（.故证.说明奇偶分析与染色联合运用解决木题.1.下面是俄罗斯方块的七个图形:⑷(3)田rR~i(5)(6)(7)请你用它们拼出(A)图，再用它们拼出(B)图(每块只能用一次，并且不准翻过来用).如果能拼出来，就在图形上画出拼法，并写明七个图形的编号;如果不能拼出来,就说明理由.2.能否
4、川图中各种形状的纸片(不能剪开)拼成一个边长为75的正方形?(图中每个小方格的边长都为1)请说明理山.B类例题例3(1)以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明：一定存在无穷条长为1的线段，这些线段的端点为同一颜色.(2)以任意方式对平而上的每一•点染上红色或者蓝色.证明：存在同色的三点，且其中一点为另两点中点.分析任意染色而又耍求出现具有某种性质的图形，这是染色问题常见的题型，常用抽屉原理或设置两难命题的方法解.证明⑴取边长为1的等边三角形，其三个顶点中必有两个顶点同色•同色两顶点连成线段即为一条满足要求的线段，由于边长为1的等边三角形有无数个，故满足要求的线段有
5、无数条.(2)取同色两点&、B,延长到点C,使BC=AB,再延长EA到点D,AD=AB,若C、D中有一点为红色，例如点C为红色，则点B为&C中点.则命题成立.否则，C、D全蓝，考虑中点M,它也是CD中点.故无论M染红述是蓝，均得证.说明⑴中，两种颜色就是两个“抽屉”，三个点就是三个“苹果”，于是根据抽屉原理，必有两个点落入同一抽屉.⑵屮，这里实际上构造了一个两难命题：非此即彼，二者必居其一.让同一点既是某两个红点的小点，又是两个蓝点的中点，从而陷入两难选择的境地，于是满足条件的图形必然存在.达到证明的目的.例4（1）以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色.证明：一定可以
6、找到无穷多个顶点为为同一•种颜色的等腰三角形.（2）以任意方式对平面上的每一点染上红色或者蓝色•证明：一定可以找到无穷多个顶点为为同一种颜色的等腰直角三角形.分析⑴同样可以设置两难命题：由于等腰三角形的顶点在底边的垂直平分线上，故先选两个同色点连成底边，再在连线的垂直平分线上找同色的点，这是解法1的思路.利用I员I的半径相等来构造等腰三角形的两腰，这是解法2的思路.利用抽屉原理，任5个点中必有三点同色，只要这5点中任三点都是一个等腰三角形的顶点即对，而止五边形的五个顶点中任三个都是等腰三角形的顶点，这是解法3的思路.⑵连止方形的対角线即得到两个等腰直角三角形,所以从止方形入
7、手解决相题第2问.（1）证明1任取两个同色点力、B（设同红）,分线MN,若MN上（除与人B交点外）有红色点,形，若无红色点，则MN上至多一个红点其余均对称的两点C、D,均蓝.则若ABk有（除交点色三角形，若无蓝点，则在矩形EFGH内任取若K为蓝，则可在CD上取两点与之构成蓝色红，则可在AB上找到两点与Z构成红色三角证明2任取一红点0,以O为圆心任作一K・NDABCM不是同一直径端点的两个红点&、B,则出现红形OAB,若圆上只有一个红点或只有同是红点，则圆上有无数蓝点，取两个蓝端点的直径对称）C、D,于是CD的垂个交
