2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第15讲_存在性问题

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1、第15讲　存在性问题本节主要内容是存在性问题.存在性问题有三种：第一类是肯定性问题,其模式为“已知A,证明存在对象B,使其具有某种性质”.第二类是否定性问题,其模式为“已知A,证明具有某种性质B的对象不可能存在”.第三类是探索性问题,其模式为“已知A,问是否存在具有某种性质B的对象”.解决存在性问题通常有两种解题思路.一种思路是通过正确的逻辑推理(包括直接计算),证明(或求出)符合条件或要求的对象B必然存在.常利用反证法、数学归纳法、抽屉原则、计数法等.另一种思路是构造法.直接构造具有某种性质B

2、的对象.常常采用排序原则、极端性原则进行构造.A类例题例1已知函数f(x)=

3、1-

4、.(1)是否存在实数a,b(a

5、增函数，所以我们分三种情况(i)当a,b∈(0,1)时；(ii)当a,b∈(1,+∞)时；(iii)当a∈(0,1),b∈1,+∞)时加以讨论.解(1)不存在实数a,b(a

6、以，即于是，a,b是方程x2-x+1=0的实根，而此方程无实根，故此时不存在实数a,b满足条件.(iii)当a∈(0,1),b∈1,+∞)时,显然，1∈[a,b],而f(1)=0,所以0∈[a,b]，矛盾.故故此时不存在实数a,b满足条件.综上可知，不存在实数a,b(a

7、有当a,b∈(1,+∞)时，f(x)=1-在(1,+∞)上为增函数，有即于是，a,b是方程mx2－x+1=0的两个大于1的实数根.所以，只须解得00，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a，O为AB的中点，E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为CE与OF的交点.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.(2003年

8、全国高考江苏卷试题)分析根据题设满足的条件,首先求出动点P的轨迹方程，根据轨迹是否是椭圆，就可断定是否存在两个定点(椭圆的两个焦点)，使得P到这两点的距离的和为定值．解按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).设=k(0≤k≤1).由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).直线OF的方程为2ax+(2k-1)y=0,　　　　　　　　　①直线GE的方程为-a(2k-1)x+y-2a=0,　　　　　　　　　　　　　　　　②由①②消去参数k得

9、点P(x,y)坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0,整理得+=1.当a2＝时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；当a2≠时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆的两个焦点的距离的和是定长；当a2＜时，P到椭圆两个焦点(-,a),(,a)的距离之和为定长；当a2＞时，P到椭圆两个焦点(0,a-),(0,a+)的距离之和为定长2a.说明要解决轨迹问题首先要建立适当的直角坐标系，有时还要选择适当的参数作过渡．情景再现1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+a满足条件f(x+)=f(-x

10、),且方程f(x)=7x+a有两个相等的实数根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m、n(0＜m＜n,使得f(x)的定义域和值域分别是[m,n]和[,]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由.(2004年河南省数学竞赛试题)2．直线l：y=kx+1与双曲线C：2x2－y2=1的右支交于不同的两点A、B.(I)求实数k的取值范围；(II)是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.(2004年湖北省高考理科试题)B类例题