随机过程试卷

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1、安徽大学2009—2010学年第二学期《应用随机过程》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四总分得分得分一、计算题（共35分）1、(15分)假设X∼E(λ)，给定a>0，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和EXIA(())EXA()=，求E(X

2、X>a)；PA()2、（10分）设Xi～E(λi)，i=1,2,且X1，X2独立，t>0,试求：EI⎡⎣(X1

3、）PN({(1)1,(2)=N=3)}；（3）PN((2)3≥N(1)1)≥；二、分析证明题（共38分）得分1、（10分）假设X是概率空间（Ω,F,P）上的非负随机变量，且服从指数分布，即：∀x>0，−λxλ−(λλ−)XP({X≤x})=1−e，λ>0为常数；设λ是另一个正常数，定义Z=Z(ω)=e，λQA()=∫ZdP，A∈F；(1)证明：Q()1Ω=；(2)求在概率测度Q下，随机变量X的分布函数：Ax>0,QX({≤x})；2、（15分）试述poisson过程的两个等价定义，并证明其等价性。第2页共4页3、（13分）试述Girs

4、anov定理，并证明其结论。三、论述分析题（共15分，选做一题）得分1、试述Brown运动和鞅的定义，并（1）给出与Brown运动有关的鞅；⎧11⎫（2）（选做一小题）(i)求P(⎨∫Wtdt()>⎬)；(ii)求PW({(0)=0,W(1)≤2,W(2)≥3)}。03⎩⎭2、试述ItoDoeblinˆ−公式，并由此求：4（1）SDE的解：dSt()=µStdt()+σStdWt()()；（2）EWt⎡⎣()⎤⎦。第3页共4页四、综合应用题（共12分，选做3小题）得分Fixaprobabilityspace(Ω,,FΡ).LetW(t

5、)beaBrownianmotionadaptedtothefiltrationF(t),anddefineD(t)=−rt,whererisconstant.e(a)GivetheformulaforgeometricBrowianmotionS(t)indifferentialform.(b)UsetheItoˆproductruletoshowthatd(D(t)S(t))=σD(t)S(t)[Θdt+α−rdW(t)],whereΘ=.WewouldliketoviewΘasaRadon-Nikodymsothatweσcan

6、applyGirsanov’stheorem.StateaconditionwhichΘsatisfiesallowingustodoso.(c)LetP̃betheprobabilitymeasurefromGirsanov’stheorem(ie,theriskneutralmeasure).ExplainwhyunderthismeasureD(t)S(t)isamartingale.(d)LetXrepresenttheportfoliovalue,whered(X(t))=∆()tdS(t)+r(X(t)−∆()tS(t))

7、dtand∆()tistheamountofstockheldattimet.ShowthatdX(t)=rX(t)dt+∆σS(t)[Θdt+dW(t)],andhencethatd(D(t)X(t))=∆()td(D(t)S(t)).UsethistoexplainwhyD(t)X(t)isamartingaleundertheriskneutralmeasure.(e)NowsupposeV(T)isanF(T)-measurabler.v.representingthepay-offattimeTofanoption.Wewi

8、shtodeterminetheinitialvalueX(0)andhedge∆()tsothatX(T)=V(T)almostsurely.(i)ShowthatX(0)=Ẽ[D(T)V(T)].(ii)ShowthatthereisanadaptedprocessΓ̃()tsuchthatΓ̃()t∆()t=,t∈[0,].TσDtSt()()第4页共4页