补充：线性规划的应用

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1、1.4线性规划的应用一、使用线性规划方法处理实际问题必须具备的条件(建模条件)：优化条件---问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示。选择条件---有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案。3）限制条件---达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来。此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，有可能建立数学关系，即这些变量之间是内部相关的。二、建模步骤：第一步：设置要求解的决策变量。决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很

2、可能事倍功半。第二步：找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示。当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，以避免“遗漏”或“重复”所造成的错误。第三步：明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，确定对函数是取极大还是取极小的要求。决策变量的非负要求可以根据问题的实际意义加以确定。讨论：这三步的顺序可以颠倒吗？为什麽？三、经济管理领域中几类典型的LP问题经济管理领域中有大量的实际问题可以归结为线性规划问题来研究，这些问题背景不同，表现各异，但数学模型却有着完全相同的形式。尽可能多地掌握一些典

3、型的模型不仅有助于深刻理解线性规划本身的理论和方法，而且有利于灵活地处理千差万别的实际问题，提高解决实际问题的能力。（一） 生产组织与计划问题1.产品计划问题2.产品配套问题1、产品计划问题问题的一般提法：用若干种原材料（资源）生产某几种产品，原材料（或资源）供应有一定限制，要求制定一个产品生产计划，使其在一定数量的资源限制条件下能得到最大的收益。如果用，单位产品所需资源数（如原材料、人力、时间等）、所得利润及可供应的资源总量已知，如表所示，问应如何组织生产才能使利润最大？产品计划问题有关信息表设出产品的计划数，可列出这类问题的数学模型如下：一般的产品计划问题

4、举例例1-7：某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产一吨产品A需要经第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时；每生产一吨产品B需要经第一道工序加工3小时，第二道工序加工4小时。可供利用的第一道工序为12小时，第二道工序为24小时。生产产品B的同时产出副产品C，每生产一吨产品B，可同时得到2吨产品C而毋需外加任何费用；副产品C一部分可以盈利，剩下的只能报废。出售产品A每吨能盈利400元、产品B每吨能盈利1000元，每销售一吨副产品C能盈利300元，而剩余要报废的则每吨损失200元。经市场预测，在计划期内产品C最大销量为5吨。试列出线性规划模型，决定

5、A、B两种产品的产量，使工厂总的利润最大。信息整理：利润与产量的关系图：数学模型：设：x1——产品A的产量，x2——产品B的产量，x3——产品C的销售量，x4——产品C的报废量。依题意，可得2、产品配套问题例1-8某产品由两个零件I和三个零件II组成，每个零件均可由三个车间各自生产，但各车间的生产效率和总工时限制各不相同，表中给出了有关信息。试确定各车间生产每种零件的工作时间，使生产产品的件数最多。例1-8有关信息表其中：xij表示第i个车间生产第j个零件的时间数注意——Z是非线性表达式！处理：于是得到该问题的LP模型为：(二)合理下料问题在加工业中，经常遇到

6、这类问题。问题的一般提法是：已知某种尺寸的棒料或板材，需要将其切割成一定数量既定规格的几种零件毛坯，问应如何选取合理的下料方法，使得既满足对截出毛坯的数量要求，又使所用的原材料最少（或废料最少）？解决这类问题一般有两个步骤：步骤一、按照一定的思路设法列出所有的排料方案（也称下料方案或排料图），当方案很多，甚至无法一一列出时，通常应先确定一些筛选原则，把明显不合理的方案删除，仅仅考虑剩余的为数不太多的方案；步骤二、设xi表示按第ｉ种方案下料的棒料根数（或板材块数）i=1,2,…,n，按照问题的要求建立LP模型。例1-9某厂接受了一批加工定货，客户要求加工100套

7、钢架，每套由长2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组成。现在仅有一批长7.4米的棒料毛坯，问应如何下料，使所用的棒料根数最少？最简单的处理方法：从一根棒料上截取2.9米、2.1米和1.5米的棒料各一根，正好配成一套钢架，100套钢架总共需要100根棒料毛坯。每根棒料毛坯剩下0.9米的料头,100根毛坯总共剩90米料头。——这是最好的办法吗？合理套裁肯定会有更好的效果。先设法列出所有的下料方案，思路如图。排列下料方案思路图设xi为按第i种方案下料的棒料根数，建立LP模型如下：（三） 合理配料问题问题的一般提法：由多种原料配置成含有m种成分的产品，已知产品中所

8、含各成分的需要量及每种原料的价格，同时