中考数学专题训练：类比探究类问题解析版

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1、.类比探究类问题解析版1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F．(1)如图1，求证：AE=DF；(2)如图2，若AB=2，过点M作MGEF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；(3)如图3，若AB=，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G．①直接写出线段AE长度的取值范围；②判断△GEF的形状，并说明理由．【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。（2）△GEF是等腰直角

2、三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM=90°。∴△GEF是等腰直角三角形。..（3）①＜AE≤。②△GEF是等边三角形。理由如下：过点G作GH⊥AD交A

3、D延长线于点H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴。在Rt△GME中，∴tan∠MEG=。∴∠MEG=600。　由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是A

4、B上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。（2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。由（1）知△CBE≌△CDF，..∴∠BCE＝∠DCF。∴∠B

5、CE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°。又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°。∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）。∴GE＝GF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD。（3）如图，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCD为正方形。∴AG＝BC。已知∠DCE＝45°，根据（1）（2）可知，ED＝BE＋DG。∴10=4+DG，即DG=6。设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED

6、中，∵DE2=AD2＋AE2，即102=（x－6）2＋（x－4）2。解这个方程，得：x=12或x=－2（舍去）。∴AB=12。∴。∴梯形ABCD的面积为108。3、在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图①）．求证：△BOG≌△POE；（4分）（2）通过观察、测量、猜想：=▲，并结合图②证明你的猜想；（5分）（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图③），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）（5分）

7、..【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°。∵PF⊥BG，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO。∴∠GBO=∠EPO。∴△BOG≌△POE（AAS）。（2）。证明如下：如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，∴∠PNE=∠BOC=900，∠BPN=∠OCB。∵∠OBC=∠OCB=450，∴∠NBP=∠NPB。∴NB=NP。∵∠MBN=900—∠BMN，∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE。∴△BMN≌△PEN（ASA）。∴BM=PE。∵∠B

8、PE=∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴