2020高考数学一轮复习2.3函数的奇偶性与周期性讲义理

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1、第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称口诀记忆奇偶性有特征，定义域要对称；奇函数，有中心，偶函数，有对称.2.函数的周期性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)

2、最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(

3、x

4、)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单

5、调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.3．对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直

6、线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)(4)若函数y＝f(

7、x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√二、选填题1．下列函数中为偶函数的是(　　)A．y＝x2sinx　　　　　　B．y＝x2cosxC．y＝

8、lnx

9、D．y＝2－x解析：选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2．下列函数为奇函数的是(　　)A．y＝B．y＝exC．y＝

10、x

11、D．y＝ex－e－x解析：选D　A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中

12、的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是(　　)A．(a，－f(a))B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a))D．(a，f(－a))解析：选B　因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx

13、是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.答案：5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________.解析：∵f(x)是定义在R上的周期为2的函数，∴f＝f＝f＝－4×2＋2＝－1＋2＝1.答案：1考点一[基础自学过关]函数奇偶性的判定[题组练透]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(x＋1)；(2)f(x)＝(3)f(x)＝；(4)f(x)＝loga(x＋)(a>0且a≠1)．解：(1)因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1

14、＜x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．(2)法一：定义法当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2