浙江专版2018年高中数学复习课二直接证明与间接证明学案新人教a版

《浙江专版2018年高中数学复习课二直接证明与间接证明学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、复习课(二)　直接证明与间接证明综合法与分析法(1)综合法与分析法是高考重点考查内容，一般以某一知识点作为载体，考查由分析法获得解题思路以及用综合法有条理地表达证明过程．(2)理解综合法与分析法的概念及区别，掌握两种方法的特点，体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系，以便熟练运用两种方法解题．1．综合法：是从已知条件推导出结论的证明方法；综合法又叫做顺推证法或由因导果法．2．分析法：是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即

2、要证……”“只需证……”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．[典例]　设a>0，b>0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.[证明]　法一：综合法因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＝a＋b≥2，≤，ab≤，所以≥4，又＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4，所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．法二：分析法因为a>0，b>0，a＋b＝1，要证＋＋≥8.只要证＋≥8，只要证＋≥8，即证＋≥4.也就是证＋≥4.即证＋≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时，＋≥2成立，所以原不等式成立．[类题通法]综合法和分析法的特

3、点(1)综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．1．已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于(　　)A．10　　　　　　　　　　　B．9C．8D．

4、7解析：选B　∵a>0，b>0，∴2a＋b>0.∴不等式可化为m≤(2a＋b)＝5＋2.∵5＋2≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m≤9，即m的最大值等于9.2．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证＜，即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立.反证法(1)反证法是证明问题的一种方法，在高考中很少单独考查，常用来证明解答题中的

5、一问．(2)反证法是间接证明的一种基本方法，使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾．1．使用反证法应注意的问题：利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．一般以下题型用反证法：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；(2)否定性命题、唯一性命题，存在性命题、“至多”“至少”型命题；(3)有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及无限个元素，用直接证明比较困难，往往用反证法．[典例]　(1)否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数

6、”时正确的反设为(　　)A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数(2)已知：ac≥2(b＋d)．求证：方程x2＋ax＋b＝0与方程x2＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根．[解析]　(1)自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”答案：D(2)证明：假设两方程都没有实数根．则Δ1＝a2－4b<0与Δ

7、2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立．[类题通法]反证法是利用原命题的否命题不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．1．已知x∈R，a＝x2＋，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.证明：假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋＋3＝22＋3≥3，两者

8、矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.2．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的a，b，c都为整数，已知f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．证明：假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0，∵f