九年级数学相似三角形的判定与性质3.4.2相似三角形的性质第1课时相似三角形对应重要线段的性质练习新版湘教版

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1、第1课时 相似三角形对应重要线段的性质一、选择题1.2017·重庆若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(  )A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶92.下列说法正确的有(  )①相似三角形对应角的比等于相似比;②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;③相似三角形对应中线的比等于相似比;④相似比等于1的两个三角形全等.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题3.已知△ABC与△A′B′C′相似,且△ABC与△A′B′C′的对应角平分线的比为5∶2.若△ABC的最短边长为20cm,则△A′B′C′的最短边长为________.4.如图

2、K-25-1,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是3.6m,则AB与CD间的距离是________m.图K-25-1.如图K-25-2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点.若AB=5,AC=4,则CF∶CE=________.图K-25-2三、解答题6.如图K-25-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.若AC=4,BC=3,求的值.图K-25-37.如图K-25

3、-4,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.求矩形的长与宽.图K-25-48新概念题从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图K-25-5①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60

4、°.求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图K-25-5②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.图K-25-51.[答案]A2.[解析]C ②③④正确.3.[答案]8cm[解析]设△A′B′C′的最短边长为xcm.根据题意得=,解得x=8,故应填8cm.4.[答案]2.45.[答案]3∶46.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠

5、A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ADC∽△CDB.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴=.在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∴=.7.解:∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,∴△AHG∽△ABC.又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,∴=.∵四边形HEDM为矩形,∴MD=HE.∵HG=2HE,设HE=x,则HG=2x,DM=x,∴=,解得x=12,∴HG=2×12=24,∴矩形的长和宽分别为24cm和12cm.8解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD

6、=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.(2)①当AD=CD时,如图(a),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当AD=AC时,如图(b),∠ACD=∠ADC==66°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD时,如图(c),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BC

7、D=∠A=48°.∵∠ADC=∠BCD+∠B,∴∠B=0°,不合题意,舍去.综上,∠ACB的度数为96°或114°.(3)由已知易得AD=AC=2.∵△BCD∽△BAC,∴=.设BD=x,则()2=x(x+2).∵x>0,∴x=-1.∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.

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1、第1课时 相似三角形对应重要线段的性质一、选择题1.2017·重庆若△ABC∽△DEF,相似比为3∶2,则对应高的比为(  )A.3∶2B.3∶5C.9∶4D.4∶92.下列说法正确的有(  )①相似三角形对应角的比等于相似比;②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;③相似三角形对应中线的比等于相似比;④相似比等于1的两个三角形全等.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题3.已知△ABC与△A′B′C′相似,且△ABC与△A′B′C′的对应角平分线的比为5∶2.若△ABC的最短边长为20cm,则△A′B′C′的最短边长为________.4.如图

2、K-25-1,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是3.6m,则AB与CD间的距离是________m.图K-25-1.如图K-25-2所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC边上一点,∠CBD=∠A,E,F分别是AB,BD的中点.若AB=5,AC=4,则CF∶CE=________.图K-25-2三、解答题6.如图K-25-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.若AC=4,BC=3,求的值.图K-25-37.如图K-25

3、-4,△ABC是一张锐角三角形硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G,H分别在AC,AB上,AD与HG的交点为M.求矩形的长与宽.图K-25-48新概念题从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图K-25-5①,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60

4、°.求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数;(3)如图K-25-5②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.图K-25-51.[答案]A2.[解析]C ②③④正确.3.[答案]8cm[解析]设△A′B′C′的最短边长为xcm.根据题意得=,解得x=8,故应填8cm.4.[答案]2.45.[答案]3∶46.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.又∵∠ACB=90°,∴∠

5、A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠A=∠BCD,∴△ADC∽△CDB.∵DE⊥AC,DF⊥BC,∴=.在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∴=.7.解:∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,∴△AHG∽△ABC.又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,∴=.∵四边形HEDM为矩形,∴MD=HE.∵HG=2HE,设HE=x,则HG=2x,DM=x,∴=,解得x=12,∴HG=2×12=24,∴矩形的长和宽分别为24cm和12cm.8解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,∴△ABC不是等腰三角形.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD

6、=∠BCD=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形.∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割线.(2)①当AD=CD时,如图(a),∠ACD=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.②当AD=AC时,如图(b),∠ACD=∠ADC==66°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.③当AC=CD时,如图(c),∠ADC=∠A=48°.∵△BDC∽△BCA,∴∠BC

7、D=∠A=48°.∵∠ADC=∠BCD+∠B,∴∠B=0°,不合题意,舍去.综上,∠ACB的度数为96°或114°.(3)由已知易得AD=AC=2.∵△BCD∽△BAC,∴=.设BD=x,则()2=x(x+2).∵x>0,∴x=-1.∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=×2=-.

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