随机变量的特征函数

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1、第四章大数定律与中心极限定理4.1特征函数内容提要itX1.特征函数的定义设X是一个随机变量,称(t)E(e)为X的特征函数,其表达式如下itxeP(Xx),i在离散场合，itXi(t)E(e)t.itxep(x)dx,在连续场合，xitx,所以随机变量X的特征函数(t)总是存在的.由于cossin1e2.特征函数的性质(1)(t)(0)1;(2)(t)(t),其中(t)表示(t)的共轭;ibt(3)若Y=aX+b,其中a,b是常数.则(t)eX(at);Y(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则XY(t)X(

2、t)Y(t);l(k)ikEXk(5)若E(X)存在,则X(t)可l次求导,且对1kl,有(0)();(6)一致连续性特征函数(t)在(,)上一致连续(7)非负定性特征函数(t)是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数nnt1,t2,,t和n个复数z1,z2,zn,有(tkt)zz0;njkjk1j1(8)逆转公式设F(x)和(t)分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任意两个点x1x,有2F(x2)F(x20)F(x1)F(x1220)limT12TTitxe1ititxe2(t)dt;特别对F(x)

3、的任意两个连续点x1x2,有F(itxitx1e21Tex2)F(x)lim(t)dt;1T2itT(9)唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；4.1(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为(t).如果(t)dt,则p(x)12eitx()tdt3.常用的分布函数特征表分布特征函数退化分布P(X=a)=1(t)itaeit)n,1二项分布(t)(qpeqpit几何分布tpe,q1p()it1qe正态分布(t)expit22t2标准正态分布(t)e2t2均匀分布U(a,b)titbe

4、(bitaea)it均匀分布U(-a,b)(t)sinatat指数分布(t)(1it)1伽玛分布Ga(,)(t)(1it)2分布(t)(12it)n2it泊松分布(t)exp(e1)习题与解答4.11.设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.X0123P0.40.30.20.1解it20.1iti3tx(t)0.40.3e0.2eek1pk2.设离散变量X服从几何分布P(Xk)(1p),1,2,.试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).解记q=1-p,则(t)itxE(e)k1itkekqi

5、tpe1it,itppe(eq)itK11qe1.'itipe(t),2it1qe''itit2itititpe(1qe)2pe(1qe)qe(t),it4(1qe)E(X)1ip1',(0)2(1q)p21p(1q)2pq(1q)1q''E(X)(0),242i(1q)pVar(X)E(X2)[()]1(1)EXq22pp2q2pk1rpkr3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布P(Xk)p(1),r1k,rr1,试求X的特征函数.解设X1,X2,,Xr是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几何分布Ge

6、(p),则由上一题知X的特征函数为jitpe(t)Xitj1qe,其中q=1-p.又因为XX1X2Xr,所以X的特征函数为ritper(t)(t)().Xqexj1itj14．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.xxaa1at(1)F1(x)edt(a>0);(2)F(x)dt(a>0).2222taaax解(1)因为此分布的密度函数为,p(x)ex.12所以此分布的特征函数为10aaitxaxitxax(t)eedxeedx2200aaaxax(costxisintx)edx(cost

7、xisintx)edx2204.12aax=acostxedx.220at22222ta2a(3ta)2''''''又因为(t),1(0)0,,(t)(0),1at1at22222321()()a112'2''所以(0)0,E(X)Var(X)=E(X)(0). 11 22iiaa1(2)因为此分布的密度函数为px),x.(222xa所以此分布的特征函数为itxae2acostx2(x)dxdx,2222xaxa0又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查costxat积分表)dx

8、e.22xa2a02aateat所以当t>0时,有.(t)e22aat而当t<0时,有(t)(t)e,所以2222aatate(t)e.2a又因为2(t)在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.itxae注：2(x)dx也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如22xa下：t>0时,2(x)a2xitxea2dxa2iRes2zitzea2,zaia2ilimzaizitzeai2a