拟线性薛定谔方程解的存在性和非存在性研究 (1)

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1、￣单位代码１０６３５学号〇１２０１５３誦Ｕ１博士学位论文拟线性薛定谔方程解的存在性和非存在性研究论文作者：薛艳昉指导教师：唐春雷教授学科专业：基础数学研宄方向：非线性泛函分析提交论文日期：２０１８年３月２５日论文答辩日期：２０１８年５月２２日学位授予单位：西南大学中国？重庆２０１８年６月独创性声明学位论文题目：拟线件莳宙解的存布件和非存在性研究木人提交的学位论文垃在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成來６论文中引用他人已经发表或出版过的研

2、究成果，文中已加／特别标汴》对本研究及学位论文撰１的老师、朋友ｎ栳做出货献、丨ｊ仁在文中作ｆ明确说明并表示衷心感谢。学位论文作者＃签字曰期：年／月＇曰１楛，＂学位论文版权使用授权书木学位论文作＃完个／解两南大学柯关保留、使用学位论文的规定，钉权保留许向Ｗ家订关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被杏阅和借阅■木人授权＿南大￥研究生院（筹）可以将学位论文的全部或部分内容编入冇关数据库进行检索，可以采ｎ丨影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。：□密后适用本授权书

3、，本论文不保密，（保密的学位论文在解口保密期限至年月止）。：学位论文作者签名：鸹森唸导师签名／＾ｆ曰：签字日期：１＾年月曰签字曰期／月／目录目录摘要ＩＡｂｓｔｒａｃｔＩＩ第１章绪论１ｌ．ｉ１研究背景１．２研究现状２１．３结构安排及常用符号６第２章渐近周期拟线性薛定谔方程解的存在性次临界８２．１８问题提出及主要结果２．２预备知识９２．３１２基态解的存在性第３章渐近周期拟线性薛定谔方程解的存在性临界２８３．１问题提出及

4、主要结果２８３．２３０预备知识３．３３１基态解的存在性第４章带一般非线性项的拟线性薛定谔方程解的存在性４６４．１问题提出及主要结果４６４．２４９预备知识４．３５１基态解的存在性４．４解的６０不存在性第５章拟线性薛定谔方程束缚态解的存在性６５５．１６５问题提出及主要结果５．２预备知识６８５．３１解的不存在性７５．４束缚态解的存在性７２１目录参考文献８３攻读博士学位期间完成和发表的学术论文９３致谢９４Ｉ摘要

5、摘要本文运用变分法和临界点理论中的相关工具及分析技巧研究各种条件之下拟线性薛，，定谔方程驻波解的存在性和非存在性．首先研究渐近周期位势下的拟线性薛定谔方程，２Ｎ—Ａｕ＋Ｖｘｕ—Ａｕｕ＝ｘｕｘＥＲ（）（）ｇ（，），，其中ｉＶ２３１／是关于：ｒ的渐近周期函数非线性项ｇ满足次临界增长．该研究先将，，ｇ，拟线性问题转化成半线性问题然后用Ｎｅｈａｒｉ流形得到基态解的存在性．，其次研究如下带临界指数的渐近周期拟线性薛定谔方程，２２＇ｔ２Ｎ——＝Ａｕ＋ＶｘｕＡ

6、ｕｕＫｘｕｕ＋ｘｕｘＧＲ．｛）（）｛）＼＼ｇ（，），，＊一３２＝／是关于其中ｉＶ２１ｇ：ｒ的渐近周期函数它们在无穷远处均满足个优，＾，，，化的渐近过程并且非线性项ｇ满足单调性条件．通过Ｎｅｈａｒｉ流形结合集中紧性原理得，一．到了个基态解再次研究如下带有一般非线性项的拟线性薛定谔方程，２Ｎ——＝０Ａｕ＋ＶｘｕＡｕｕｕｘＧＭ．１（）（）ｇ（）．，，（）一ｋ其中满足定的几何条件满足由Ｂｅｒｅｓｔｃｉ和Ｌｉｏｎｓ提出的ＢＬ条件，分⑷ｙ（），当：

7、ｒ４〇〇时＼／：ｒ趋向于零．在径向对称的条件下通过单调技巧得到ＰＳ序列的，，，｜｜（）（）有界性由Ｓｔｒａｕｓｓ引理得到紧性从而得到正解然后再给出基态解的存在性．同时通，，，，过Ｐｏｈｏｚａｅｖ流形得到了不存在性结果．，３最后在Ｒ中讨论方程０．１．此时非线性项火非齐次并且在无穷远处渐近，（），，三次．在Ｐｏｈｏｚａｅｖ流形上的下确界不可达的情况下考虑找束缚态解．借助Ｐｏｈｏｚａｅｖ，流形上重心为零的函数构造环绕运用环绕定理得到了方程０．１的束缚态解．，（）关键词：拟线性薛定谔方程渐近周

8、期基态解Ｎｅｈａｒｉ流形Ｐｏｈｏｚａｅｖ流形．；丨；；Ｉ西南大学博士学位论文ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｗｅｓｔｕｄｔｈｅｅｘｉｓｔｅｎｃｅａｎｄｎｏｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅｏｆｓｔａｎｄｉｎｗａｖｅｓｏｌｕ？，ｙｇｔｉｏｎｓｆｏｒｕａｓｉｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｏｄｉｎｅｒｅｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｖａｒｉｏｕｓｏｔ