资源描述:
《高中数学第一章计数原理1.4计数应用题学案苏教版选修》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4计数应用题学习目标 1.进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深化理解排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题.类型一 两个计数原理的应用例1 电视台在某节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有________种不同的结果.反思与感悟 用流程图描述计数问题,类中有步的情形如图所示:具体意义如下:从A到B算作一件事的完成,完成这件事有两类办法,在第1类办法中有3步,在第2类办法中有2步,每步的方法数如图所示
2、.所以,完成这件事的方法数为m1m2m3+m4m5,“类”与“步”可进一步地理解为:“类”用“+”号连接,“步”用“×”号连接,“类”独立,“步”连续,“类”标志一件事的完成,“步”缺一不可.跟踪训练1 现有4种不同颜色,要对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有________种.例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测一人,则不同的安
3、排方式共有________种.(用数字作答)反思与感悟 用流程图描述计数问题,步中有类的情形如图所示:从计数的角度看,由A到D算作完成一件事,可简单地记为A→D.完成A→D这件事,需要经历三步,即A→B,B→C,C→D.其中B→C这步又分为三类,这就是步中有类.其中mi(i=1,2,3,4,5)表示相应步的方法数.完成A→D这件事的方法数为m1(m2+m3+m4)m5.以上给出了处理步中有类问题的一般方法.跟踪训练2 如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式共有________种.类型二 有限制条件的排列问题例3 3个女生和5个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一
4、起,有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生,有多少种不同的排法?(5)如果甲必须排在乙的右面(可以不相邻),有多少种不同的排法? 反思与感悟 (1)排列问题的限制条件一般表现为:某些元素不能在某个位置,某个位置只能放某些元素等.要先处理特殊元素或先处理特殊位置,再去排其他元素.当用直接法比较麻烦时,可以用间接法,先不考虑限制条件,把所有的排列数算出,再从中减去全部不符合条件的排列数,这种方法也称为“去杂法”,但必须注意要不重复,不遗漏(去尽).(2)对于某些
5、特殊问题,可采取相对固定的特殊方法,如相邻问题,可用“捆绑法”,即将相邻元素看成一个整体与其他元素排列,再进行内部排列;不相邻问题,则用“插空法”,即先排其他元素,再将不相邻元素排入形成的空位中.跟踪训练3 用0到9这10个数字,(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数?在这些四位数中,奇数有多少个?(2)可以组成多少个只含有2个相同数字的三位数? 类型三 排列与组合的综合应用例4 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有
6、多少种? 反思与感悟 (1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.跟踪训练4 从1,3,5,7,9中任取3个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数? 例5 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3
7、个班级中,若各班名额数不小于班级序号数,则共有________种不同的分配方案.反思与感悟 凡“相同小球放入不同盒中”的问题,即为“n个相同元素有序分成m组(每组的任务不同)”的问题,一般可用“隔板法”求解:(1)当每组至少含一个元素时,其不同分组方式有N=C种,即将n个元素中间的n-1个空格中加入m-1个“隔板”.(2)任意分组,可出现某些组含元素为0个的情况,其不同分组方式有N=C种,即将n个相同元素与m-1个相同“隔板”进行排序,在n+m-1个位置中选m-1个安排“隔板”.跟踪训练5 用2,3,4,5,6,7六个数字,可以组成有重复数字的三位数