《马尔可夫链的平稳分布》课件

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1、马尔可夫链的平稳分布要求掌握以下内容：1.什么是马尔柯夫链2.计算部分：市场占有率预测和人力资源结构预测方法。稳态概率矩阵在马尔可夫链中，已知系统的初始状态和状态转移概率矩阵，就可推断出系统在任意时刻可能所处的状态。现在需要研究当k不断增大时，P(k)的变化趋势。例有A、B、C三家企业的同种产品上个月在某地区市场上的占有率分别为：0.52、0.30、0.18。根据市场调查情况，每1000户顾客中分别购买A、B、C三家企业产品的变化情况如表12-3。试用马尔柯夫预测法分析，若按目前趋势发展下去，三家企业产品占有率的状况。企业占有顾客变化情况

2、单位：人1．确定初始状态。S（0）=(0.520.300.18）2．确定转移概率矩阵。3.计算本期市场占有率。根据马尔柯夫预测模型，本月市场占有率S（1）=S（0）P=（0.4350.2970.268）4.后续周期趋势预测第K个月的市场占有率为S（K）=S（0）PK。根据上式，计算第一月至第十二月的市场占有率于表12-4：逐期市场占有率计算表分析（1）A企业和B企业产品的市场占有率逐期下降，并且A企业产品的市场占有率下降幅度较大；（2）C企业产品的市场占有率却以较大的幅度逐期上升。（3）变化的幅度逐渐减小，趋近于不变。一、平稳分布如存在非

3、零向量X=(x1，x2，…，xN)，使得：XP=X其中P为一概率矩阵，则称X为P的固定概率向量。特别地，设X=(x1，x2，…，xN)为一状态概率向量，P为状态转移概率矩阵，若XP=X称X为该马尔可夫链的一个平稳分布若随机过程某时刻的状态概率向量X为平稳分布，则称过程处于平衡状态。一旦过程处于平衡状态，则过程经过一步或多步状态转移之后，其状态概率分布保持不变，也就是说，过程一旦处于平衡状态后将永远处于平衡状态。对于我们所讨论的状态有限（即N个状态）的马尔可夫链，平稳分布必定存在。特别地，当状态转移矩阵为正规概率矩阵时，平稳分布唯一。定义1

4、：如果P为概率矩阵，且存在m>0，使Pm中诸元素皆非负非零。则称P为正规概率矩阵。例如：均为正规概率矩阵。P1为正规概率矩阵是明显的（m=1）P2是正规概率矩阵也也易于论证：即存在（m=2），使P2的元素皆非负非零。是非正规概率矩阵。正规概率矩阵的这一性质很有实用价值。因为在市场占有率是达到平稳分布时，顾客（或用户）的流动将对市场占有率不起影响。即各厂丧失的顾客（或用户）与争取到的顾客相抵消。二、平稳分布一个马尔柯夫链如果是正规的，根据以上讨论可知，通过状态转移可以使系统达到某一平稳状态。在这种情况下，处于状态i的概率如用xi表示，则系统

5、整体的状态可用下面的概率向量来表示：X=（x1，x2，……，xn）系统的平稳状态系统的平稳状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。即：XP=X式中：P是反映状态转移的正规概率矩阵，X称为对P的平稳状态概率向量。若知正规概率矩阵P，就可以根据以上关系式求出系统的平稳状态概率向量X。求平稳状态概率向量若已知概率矩阵所求的平稳状态概率向量X=（x1，x2，……，xn）。求平稳状态概率向量并且x1+x2+……+xn=1从而有：P11x1+P21x2+……+Pn1xn=x1P12x1+P22x2+……+Pn2xn=x2………

6、………P1nx1+P2nx2+……+Pnnxn=xnx1+x2+……+xn=1由联立方程组，解得x1、x2、……、xn。例12-5:设一马尔可夫链的状态转移矩阵如下，求其平稳分布。解：(1)P是正规概率矩阵即存在（m=2），使P2的元素皆非负非零。(2)由于P是正规概率矩阵，求解如下方程组：这就是该马尔可夫链的平稳分布。