《马尔可夫链讲》PPT课件

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1、定义对于状态i，若正整数集合非空，则称该集合的最大公约数L为状态i的周期，记作。若，则称状态i是周期的，若，则称状态i是非周期的。如果上述集合为空集，则约定一、马氏链中的状态性质1.周期性2.常返性为自状态i出发经过n步首次进入状态j的概率。定义设为一马氏链，对任一状态i与j，称从而计算公式显然有定义设为一马氏链，对任一状态i与j，称经有限步（迟早）到达状态j的概率。为自状态i出发定义如果，则称状态i是常返的。如果，则称状态i是非常返的（或称为瞬时的）。如果马尔可夫链的任一状态都是常返的，则称此链为常返马尔可夫链。定义设i是一常返态，则从i出发可经过n步首次返回i，在的条件下的

2、分布列为12…nP………由数学期望的定义，可得称为状态i的平均返回时间。定义设i是常返态，如果，则称状态i是正常返态；如果,则称状态i是零常返态。如果状态i是非周期且正常返的，则称状态i是遍历的。定理对任何状态，有证明：因为定理状态i是常返（）的充要条件为系：如果状态i是非常返的充要条件是系：如果i是常返态，则（1）i零常返当且仅当（2）i遍历当且仅当定理：设i为常返状态，有周期,则此时有马氏状态分类图状态分类判别法：（1）i非常返（2）i零常返且且（4）i遍历且（3）i正常返二、马氏链中的状态关系定义（可达）：如果对于状态i和j,总存在某个，使得，则称自i状态经过n步可以到达

3、j状态，并记为反之，若对所有的有，则自i状态不可以到达j状态，并记为可达具有传递性，即若,,则证明:由知，存在使得再由C-K方程可知，因此可达与互通例设一两状态马氏链具有以下转移概率矩阵解：要讨论这一马氏链两个状态的可达性，可先求出它的n步转移概率矩阵。由于对于所有的n,，故状态“1”不能到达状态“0”；而存在n使得故状态“0”可以到达状态“1”。讨论其状态的可达特性。注：此题画状态转移图更直观定义（互通）：若自状态i可达状态j，同时自状态j也可达状态i，则称状态和状态互通，记为互通是一种等价关系，即满足：（1）若，则,自返性（2）若，则，对称性（3）若，，则，传递性我们把任何

4、两个互通的状态归为一类。然后定义：定义若Markov链只存在一个类，就称它是不可约的；否则称为可约的。例无限制的随机游走问题。考虑一个质点在直线上作随机游走．如果在某一时刻质点位于i,则下一步质点将以概率向前游走一步到达i+1处，或以概率向后游走一步到达i-1处。现规定，这一质点只能“向前”或“向后”游走一步，并且经过一个单位时间它必须“向前”或“向后”游走。讨论其状态的互通性。解：如果以表示n时刻质点的位置，则是一个随机过程。而且，当时，等在时刻n后质点所处的状态仅与有关，而与质点在时刻n以前是如何到达i的无关．故它是一个齐次马尔可夫链。状态空间，一步转移概率为从而一步转移概

5、率矩阵为下面求n步转移概率如在n次转移的结果是从i到j,n次转移中恰好向前游走m次，向后游走k次，则有联立上两式求解可得根据概率法则，不难求得n步转移概率为其中时，反映了在n，i，j之间存在的一种约束关系。由于对于满足要求的n，i，j，，所以无限制的随机游走中的各个状态是互通的。引理1对任意i和j，若，则存在正数、及正整数l、m，使对任一正整数n，有、定理若，则（1）i与j同为常返或同为非常返；（2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返；（3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。定理的充要条件是证明：充分性：若，则根据到达的定义，总存在某个，使所以这样，至

6、少有一个为正（不为0），所以必要性：若，则由至少有一个使，故表示自状态i出发，在有限步内迟早要返回状态i的概率，是在0与1之间的一个数。三、状态空间分解定义设，若从V中任一状态出发不能到达V外的任一状态，则称V为闭集。显然，对一切和有若V中仅含有单个状态，则此闭集称为吸收态。它构成了一个较小的闭集。而整个空间构成一个较大的闭集。除了整个状态空间外，没有别的闭集的马尔可夫链称为不可约的马尔可夫链。此时整个空间的所有状态皆是相通的。闭集内任一状态，不论转移多少步，都不能转移到闭集之外的状态上去，即随着时间的推移，闭集内任一状态只能在闭集内部的状态之间转移。定理马尔可夫链的所有常返状

7、态构成的集合是一闭集。有限状态分解定理定理（分解定理）状态空间E必可分解为其中N是全体非常返态组成的集合，是互不相交的常返态闭集组成。而且（1）对每一确定的k,内任意两状态相通；（2）与()中的状态之间不相通；例设齐次马氏链的状态空间，其一步转移概率矩阵如下，试对该空间进行分解。解：根据一步转移概率矩阵，可画出如图所示的状态转移图。由图可知，，而当时，，所以，可见状态1为正常返，且周期。含有状态1的常返闭集为同理，因为，，在时，，所以可见状态6为正常返，且是非周期的。含有状态6的常返闭集为状