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1、桂林电子工业学院学报第卷第期刀又刀呵,年月关于马尔可夫链平稳分布定义的几点注记王相馥墓础部摘要马尔可夫链平稳分布有两种不等价的定义定义设,,“·为马氏链,,,”·为状态空间。若对丫及〔,有,则称,,〔为。马氏链的平稳分布二为马,。,,定义设氏链为状态空间为一一一,,,汀。一二,沁步转移概率〔为概率分布若创满足方程组‘“,···兀。冗了夕,‘‘⋯奚则称,,‘〔为马氏链的平稳分布。,,。本文通过一系列定理对这两种定义进行比较从而看出它们的异同点关键词马尔可夫链平稳分布极限分布转移概率马,氏链的平稳分布的两种不等价的定义反映了人们对马氏链的统计平稳的不同理。
2、,。解本文对这两种定义进行比较从而得出一些结论下面讨论的马氏链都是对时间齐。次的平稳分布的第一种定义及其性质,,,,·,,,·。定义设。”为马氏链〔二。为状态空间若对丫‘,及有矛则称勿,旅〔为马氏链的平稳分布川。,。,,,,沁〔勿为一步转移概率在第一种定义下介绍三个定理设为初始分布夕,”’。为步转移概率定理初始分布,,〔〔为平稳分布的充要条件是,,仕〔满足方程组本文于年月日收到、第期王相馥关于马尔可夫链平稳分布定义的几点注记,,。“,,二“只汀‘夕,,“。云介证明。见文献〔〕,则定理若马氏链的极限分布与平稳分布都存在极限分布必为平稳分布证明设,,。〔为
3、马氏链的极限分布,即,,“‘,悠了又设,‘为马氏链的平稳分布,则有,二二只‘三儿,、‘几,三三︸各。上面求和的运算可以交换次序见文献〔〕利用数学归纳法得‘二,了,三夕夕二于再由控制收敛定理得一二夕‘价。心二〔艺叱’一巴,二,’,,二“‘,·,”,‘,,定理设马氏链有平稳分布则对及二左,,,⋯、和丫它们都是正整数或零且满足《《一《有,二,一月,,一月、二⋯,,,,阴、证明一··二,卜】⋯一七女一一一”,··,卜夕,’夕卜’含⋯护念丁户,二,一,平稳分布的第二种定义及其性质,,,”·为马氏链,,,“。为状态空间,,,为定义设〔,,。,二,二,一步转移概率为
4、概率分布若满足方程组二,,”。兀桂林电子工业学院学报年,,〔。则〔”,称汀为马氏链的平稳分布。在第二种定义下介绍三个定理,,,汀〔则丫及定理设为马氏链的平稳分布同时又是初始分布对汀有二万,证明二,、玄‘·二二二万二俨二,,二乙二,成,由定理的证明可知当介立则二兀井、‘月,二夕二。也成立故角,则。定理若马氏链的极限分布存在此极限分布必为马氏链的平稳分布证明考虑切普曼一柯尔莫哥洛夫方程一”’,二,心三尸心现取并令则得‘“’,’,夕黑衅丹扭一,公怎产,,〔,则设仕为马氏链的极限分布有用、理,刀涅由法都引理得一、,,’对尸夕污乡‘沪二式伙沙艺、刀二、,刀、沙,
5、兄、、,现证巧若尹则‘、艾钊沙,宁一,艺犷一欠二、,沙、二二艺刀走二二刀、二二二,,,。〔这是不可能的于是证明了兄外据平稳分布的第二种定义知为平稳卜。分布,,刀,汗〔,则定理若马氏链的极限分布存在设极限分布为有第期王相馥关于马尔可夫链平称分布定义的几点注记‘”,二刀黔证明月二二二,触〔“二‘艺咬”,艺由控制收敛定理得·”‘”,二乙二,凡黔卜十伪二艺乞一间均二孟悠·二乡,。,结论,第一种定义的平稳分布一定是初始分布而第二种定义的平稳分布则不一定。,是初始分布若在第二种定义中取初始分布为平稳分布则与第一种定义一致见定理。第一种定义的平稳分布表明系统具有下述
6、意义下的平稳性即在时刻处于月。,。状态的概率不随而异显然此时的马氏链是严平稳的见定理,第二种定义的平稳分布不具有上述性质但由定理和定理知‘”,二‘““‘瑰,。二,仔〔,其中为平稳分布这表明当充分长的时间之后系统处于状态的概率二。。月引近似地看成不随时间而异由此可知两种定义反映了不同意义下的平稳性平稳分布与极限分布的关系。。由于第一种定义的平稳分布也是初始分布而极限分布不一定是初始分布故当极。,,限分布存在时还不能得出平稳分布必定存在但在第二种定义中当极限分布存在时。其平稳分布必定存在且它们相同见定理,,两种平稳分布的定义虽有不同但由定理和第种定义知它们
7、都满足方程组万贫,,,艺,二万‘,,乞介,二,。产、这说明了无论何种定义平稳分布都可由求解上述方程组而获得桂林电子工业学院学报年参考文献王梓坤随机过程论北京科学出版社,一「菲赫金哥尔茨著北大高等数学教研室译微积分学教程第二卷第二分册北京人民教育,,出版社,巴鲁查一赖特著杨纪坷、吴立德译马尔可夫过程初步及其应用,上海科学技术出版社,即廿,妙沁血一’泛厥,‘,,,,,“、二⋯犷亡攻匆〔,、二二,,序了、、,‘钱诊‘加,,,,,二,,⋯,甲祝、,,·,‘,‘仑士乒,乎忿,、。才,。“,,,汀艺⋯〕二汀汤,全东五
