2017-2018学年高中数学三角函数1.4.2第二课时正弦函数余弦函数的单调性与最值学案新人教a版

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1、第二课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值预习课本P37～40，思考并完成以下问题(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？正弦函数、余弦函数的图象和性质　正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝

2、1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1[点睛]　(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(　　)(2)存在x∈R满足sinx＝.(　　)(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cosx仅当x＝0时取得最大值1.(　

3、　)答案：(1)×　(2)×　(3)×2．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是(　　)A．[0，π]　　　　　　　　　　B．C．D．[π，2π]答案：C3．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为(　　)A．ymax＝3，x＝B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)答案：C4．函数y＝3＋2cosx的最大值为________．答案：5正、余弦函数的单调性[典例]　求函数y＝3sin的单调递减区间．[解]　∵y＝

4、3sin＝－3sin，∴y＝3sin是增函数时，y＝3sin是减函数．∵函数y＝sinx在(k∈Z)上是增函数，∴－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．∴函数y＝3sin的单调递减区间为(k∈Z)．与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω

5、<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．[活学活用]求y＝cos的单调增区间．解：因为y＝cos＝cos，所以令π＋2kπ≤2x－≤2π＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数y＝cos的单调增区间为，k∈Z.三角函数值的大小比较[典例]　比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos与cos.[解]　(1)∵函数y＝sinx在上单调递减，且90°<250°<260°<270°，∴sin250°>sin260°.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝co

6、s.∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0<<<π，∴cos>cos，∴cos>cos.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[活学活用]　比较下列各组数的大小．(1)cos与cos；(2)sin194°与cos160°.解：(1)cos＝cos，cos＝cos＝cos＝cos.∵0＜＜＜π，且y＝cosx在(0，π)上单调递减

7、，∴cos＞cos，即cos＞cos.(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sinx在上单调递增，∴sin70°＞sin14°，即－sin14°＞－sin70°.故sin194°＞cos160°.正、余弦函数的最值题点一：形如y＝asinx(或y＝acosx)型1．若y＝asinx＋b的最大值为3，最小值为1，则ab＝________.解析：当a>0时，得当a<0时，得

8、答案：±2题点二：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或y＝Acos(ωx＋φ)＋b型2．求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．解：因为x∈，所以2x＋∈，从而－≤cos≤1.所以当cos＝1，即2x＋＝0，x＝－时，ymin＝3－4＝－1.当cos＝－，即2x＋＝，x＝时，ymax＝3－4×＝5.综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5.题点三：形如y＝Asin2x＋Bsinx