2011西城高三二模数学(文科)

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北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科）2011.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合,，且，则等于（A）（B）（C）（D）2.已知是虚数单位，则复数所对应的点落在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3.已知，则下列不等式正确的是（A）（B）（C）（D）4.在中，“”是“为直角三角形”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5．1正(主)视图俯视图222侧(左)视图21一个几何体的三视图如图所示，则其体积等于（A）（B）（C）（D）xBPyO6.函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（A）（B）（C）（D）7．若，则函数在区间上零点的个数为（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个8．已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.已知为等差数列，，则其前项之和为_____.10．已知向量，，设与的夹角为，则_____.11.在中，若，，则_____.12．平面上满足约束条件的点形成的区域为，则区域的面积为________；设区域关于直线对称的区域为，则区域和区域中距离开始输入否结束输出是最近的两点的距离为________.13.定义某种运算，的运算原理如右图所示.则______；设.则______.14.数列满足，，其中，．给出下列命题：①，对于任意，；②，对于任意，；③，，当（）时总有.其中正确的命题是______.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，求的值.16.（本小题满分13分）如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；ABABCCDMODO（Ⅲ）求三棱锥的体积.17.（本小题满分13分） 由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率；（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.18.（本小题满分14分）设函数，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.19.（本小题满分14分）已知椭圆（）的焦距为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且成等比数列，求的值.20.（本小题满分13分）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.①；②.（Ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例. 北京市西城区2011年高三二模试卷数学（文科）2011.5参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号12345678答案CBCADBBC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.10.11.12.；13.；14.①③注：12、13题第一问2分，第二问3分.14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）解：解：（Ⅰ）由题意，，……………2分所以，.……………3分函数的定义域为.……………4分（Ⅱ）因为，所以，……………5分，……………7分，……………9分将上式平方，得，……………12分所以.……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.……………2分因为平面,平面，所以平面.……………4分（Ⅱ）证明：由题意，, 因为,所以，.……………6分ABCMOD又因为菱形，所以.…………7分因为,所以平面，……………8分因为平面，所以平面平面.……………9分（Ⅲ）解：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.……………10分由（Ⅱ）知，平面，所以为三棱锥的高.……………11分的面积为，……………12分所求体积等于.……………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得，……………2分所以.……………3分（Ⅱ）设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得.………5分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A1,A2)，(B1,B2)，(B2,B3)，(B1,B3)共10个.………7分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(A1,A2)，…………8分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为.……………9分（Ⅲ）总体的平均数为，………10分那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2，……………12分所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为.……………13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知， 所以，……………2分由，得，……………3分所以，在区间上，，函数在区间上单调递减；……………4分在区间上，，函数在区间上单调递增；……………5分即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.……………7分切线与轴的交点为，与轴的交点为，……………9分因为，所以，……………10分，……………12分在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.……………13分所以，当时，有最大值，此时，所以，的最大值为.……………14分19、（本小题满分14分）xyODBE解：（Ⅰ）由已知，.……………2分解得，……………4分所以，椭圆的方程为.……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为，由得，……………6分所以，所以，……………8分依题意，.因为成等比数列，所以，……………9分 所以，即，……………10分当时，，无解，……………11分当时，，解得，……………12分所以，解得，所以，当成等比数列时，.……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：①函数具有性质.……………1分，因为，，……………3分即，此函数为具有性质.②函数不具有性质.……………4分例如，当时，，，……………5分所以，，此函数不具有性质.（Ⅱ）假设为中第一个大于的值，……………6分则，因为函数具有性质，所以，对于任意，均有，所以，所以，与矛盾，所以，对任意的有.……………9分（Ⅲ）不成立.例如……………10分证明：当为有理数时，均为有理数，，当为无理数时，均为无理数， 所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质.……………12分而当（）且当为无理数时，.所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如，，，等.）