2016届北京市西城区高三二模考试数学（文科）

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1、2016届北京市西城区高三二模考试数学（文科）一、选择题（共8小题；共40分）1.设全集U=R，集合A=xx>0，B=xx<1，则集合∁UA∩B=  A.−∞,0B.−∞,0C.1,+∞D.1,+∞2.下列函数中，既是奇函数又在R上单调递减的是  A.y=1xB.y=e−xC.y=−x3D.y=lnx3.设x，y满足约束条件y≤2x,x+y≤1,y+1≥0,则z=x+3y的最大值是  A.43B.73C.−13D.14.执行如图所示的程序框图，如果输出的S=115，那么判断框内应填入的条件是  A.i<3B.i<4C.i<5D.i<65.在△ABC中，角A，B，C所对的边

2、分别为a，b，c．若sinA+B=13，a=3，c=4，则sinA=  A.23B.14C.34D.166.“m>n>0”是“曲线mx2+ny2=1为焦点在x轴上的椭圆”的  A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量xm3和煤气费fx（元）满足关系fx=C,0A.已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：月份用气量煤气费一月份4 m34元二月份25 m314元第8页（共8页）三月份35 m319元若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为 ()A.11.5元B.11元C.10.

3、5元D.10元8.设直线l:3x+4y+a=0，圆C:x−22+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP,MQ（P,Q为切点）满足∠PMQ=90∘，则a的取值范围是  A.−18,6B.6−52,6+52C.−16,4D.−6−52,−6+52二、填空题（共6小题；共30分）9.已知复数z=2−i1+i，则在复平面内，z对应点的坐标为 ．10.设平面向量a，b满足∣a∣=∣b∣=2，a⋅a+b=7，则向量a，b夹角的余弦值为 ．11.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为 ．12.设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=±22x，则其离心率为

4、 ；若点4,2在C上，则双曲线C的方程为 ．13.设函数fx=2−x,x<1,log2x,x≥1,那么ff−12= ；若函数y=fx−k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是 ．14.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影．已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片．那么在这5部微电影中，最多可能有 部优秀影片．三、解答题（共6小题；共78分）15.已知函数fx=1+3tanxcos2x．（1）求函数fx的

5、定义域和最小正周期；（2）当x∈0,π2时，求函数fx的值域．16.已知数列an的前n项和Sn满足4an−3Sn=2，其中n∈N*．（1）求证：数列an为等比数列；第8页（共8页）（2）设bn=12an−4n，求数列bn的前n项和Tn．17.如图，在周长为8的矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点．将矩形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60∘．设G为AF上一点，且满足CF∥平面BDG．（1）求证：EF⊥DG；（2）求证：G为线段AF的中点；（3）求线段CG长度的最小值．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用

6、分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0,10，10,20，20,30，30,40，40,50并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．19.已知函数fx=x−ax+a2．（1）若fʹa=1，求a的值；（2）设a≤0，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得fx2

7、0.已知抛物线C:x2=4y，过点P0,mm>0的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F．（1）写出抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）求证：点Q在直线y=−m上；（3）判断是否存在点P，使得四边形PFQF为矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．第8页（共8页）答案第一部分1.B2.C3.B4.C5.B6.D7.A8.C【解析】因为使得过M的圆C的切线MP,MQ（P,Q为切点）满足∠PMQ=90∘，即圆心到直线l:3x+4y+a=0的距离最大为2