2013年北京市西城区高三二模文科数学试题及答案

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1、北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学(文科)2013.5第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.复数(A)(B)(C)(D)2.已知向量,.若与共线,则实数(A)(B)(C)(D)3.给定函数:①;②;③;④,其中奇函数是(A)①(B)②(C)③(D)④4.若双曲线的离心率是,则实数(A)(B)(C)(D)5.如图所示的程序框图表示求算式“”之值,则判断框内可以填入(A)(B)(C)(D)第11页共11页6.对于直线,和平面,,使成立的一个

2、充分条件是(A),∥(B)∥,(C),,(D),,7.已知函数.若关于的方程有两个不同的实根,则实数的取值范围是(A)(B)(C)(D)8.已知集合的非空子集具有性质:当时,必有.则具有性质的集合的个数是(A)(B)(C)(D)第11页共11页第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知直线,.若∥,则实数______.10.右图是甲,乙两组各名同学身高(单位:)数据的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为和,则______.(填入:“”,“”,或“”)11.在△中,,,,则______;△

3、的面积是______.12.设,随机取自集合,则直线与圆有公共点的概率是______.13.已知命题函数在上单调递增;命题不等式的解集是.若且为真命题,则实数的取值范围是______.14.在直角坐标系中,已知两定点,.动点满足则点构成的区域的面积是______;点构成的区域的面积是______.第11页共11页三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知等比数列的各项均为正数,,.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设.证明:为等差数列,并求的前项和.16.(本小题满

4、分13分)如图,在直角坐标系中,角的顶点是原点,始边与轴正半轴重合,终边交单位圆于点,且.将角的终边按逆时针方向旋转,交单位圆于点.记.(Ⅰ)若,求;(Ⅱ)分别过作轴的垂线,垂足依次为.记△的面积为,△的面积为.若,求角的值.17.(本小题满分14分)如图1,在四棱锥中,底面,面为正方形,为侧棱上一点,为上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示.(Ⅰ)求四面体的体积;(Ⅱ)证明:∥平面;(Ⅲ)证明:平面平面.第11页共11页18.(本小题满分13分)已知函数,其中.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求在区间上的最

5、小值.19.(本小题满分14分)如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.(Ⅰ)若点的坐标为,求的值;(Ⅱ)若椭圆上存在点,使得,求的取值范围.20.(本小题满分13分)已知集合是正整数的一个排列,函数对于,定义:,,称为的满意指数.排列为排列的生成列.(Ⅰ)当时,写出排列的生成列;(Ⅱ)证明:若和为中两个不同排列,则它们的生成列也不同;(Ⅲ)对于中的排列,进行如下操作:将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之

6、和至少增加.第11页共11页北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学(文科)参考答案及评分标准2013.5一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A;2.A;3.D;4.B;5.C;6.C;7.B;8.B.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.;10.;11.,;12.;13.;14.,.注:11、14题第一空2分,第二空3分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分.15.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:设等比数列的公比为,依题意.………………1分因为,

7、,两式相除得,………………3分解得,舍去.………………4分所以.………………6分所以数列的通项公式为.………………7分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得.………………9分因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列.………………11分第11页共11页所以.………………13分16.(本小题满分13分)(Ⅰ)解:由三角函数定义,得,.………………2分因为,,所以.………………3分所以.………………5分(Ⅱ)解:依题意得,.所以,………………7分.……………9分依题意得,整理得.………………11分因为,所以,所以,即.………………13分17.(本小题满分1

8、4分)(Ⅰ)解:由左视图可得为的中点,所以△的面积为.………………1分因为平面,………………2分所以四面体的体积为………………3分.………………4分(Ⅱ)证明:取中点,连结,.………………5分第11页共11页由正(主)视图可得为的中点

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