2013年北京市西城区高三二模文科数学试题及答案

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1、北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）2013.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数（A）（B）（C）（D）2．已知向量，．若与共线，则实数（A）（B）（C）（D）3．给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是（A）①（B）②（C）③（D）④4．若双曲线的离心率是，则实数（A）（B）（C）（D）5．如图所示的程序框图表示求算式“”之值，则判断框内可以填入（A）（B）（C）（D）第11页共11页6．对于直线，和平面，，使成立的一个

2、充分条件是（A），∥（B）∥，（C），，（D），，7．已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）8．已知集合的非空子集具有性质：当时，必有．则具有性质的集合的个数是（A）（B）（C）（D）第11页共11页第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知直线，．若∥，则实数______．10．右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则______．（填入：“”，“”，或“”）11．在△中，，，，则______；△

3、的面积是______．12．设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．13．已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______．14．在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______．第11页共11页三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16．（本小题满

4、分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△的面积为，△的面积为．若，求角的值．17．（本小题满分14分）如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）求四面体的体积；（Ⅱ）证明：∥平面；（Ⅲ）证明：平面平面．第11页共11页18．（本小题满分13分）已知函数，其中．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最

5、小值．19．（本小题满分14分）如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列．（Ⅰ）当时，写出排列的生成列；（Ⅱ）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（Ⅲ）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之

6、和至少增加．第11页共11页北京市西城区2013年高三二模试卷高三数学（文科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A；2．A；3．D；4．B；5．C；6．C；7．B；8．B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．；10．；11．，；12．；13．；14．，．注：11、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，依题意．………………1分因为，

7、，两式相除得，………………3分解得，舍去．………………4分所以．………………6分所以数列的通项公式为．………………7分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．………………9分因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列．………………11分第11页共11页所以．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由三角函数定义，得，．………………2分因为，，所以．………………3分所以．………………5分（Ⅱ）解：依题意得，．所以，………………7分．……………9分依题意得，整理得．………………11分因为，所以，所以，即．………………13分17．（本小题满分1

8、4分）（Ⅰ）解：由左视图可得为的中点，所以△的面积为．………………1分因为平面，………………2分所以四面体的体积为………………3分．………………4分（Ⅱ）证明：取中点，连结，．………………5分第11页共11页由正（主）视图可得为的中点