2011年高考真题详解——北京卷(理科数学)

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1、2011年普通高等学校招生全国统一考试【北京卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共40分）【2011北京理，1】1．已知集合,.若,则的取值范围是()．A．B．C．D．【答案】C．【解析】，．【2011北京理，2】2．复数()．A．B．C．D．【答案】A．【解析】分母实数化，可求得．【2011北京理，3】3．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是()．A．B．C．D．【答案】B．

2、【解析】，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B．【2011北京理，4】4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()．A．B．C．D．【答案】D．【解析】循环操作4次时S的值分别为，选D．【2011北京理，5】5．如图，，分别与圆切于点，，，延长与圆交于另一点．给出下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是()．A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】A．【解析】①正确．由条件可知，BD=BF，CF=CE，可得．②正确．通过条件可知，AD=AE．由切割定理可得．③错误．连接FD（如下图），若，则有．通过图像可知，因而错误．答

3、案选A．【2011北京理，6】6．根据统计，一名工作组装第件某产品所用的时间（单位：分钟）为（，为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时15分钟，那么和的值分别是()．A．75，25B．75，16C．60，25D．60，16【答案】D．【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即，，选D．【2011北京理，7】7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()．A．8B．C．10D．【答案】C．【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是

4、PAC，面积为10，选C．【2011北京理，8】8．设,，,.记为平行四边形内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为()．A．B．C．D．【答案】C．【解析】如下图，在t=0,0

5、，11】11．在等比数列中，，，则公比________；_________．【答案】；．【解析】，，是以为首项，以2为公比的等比数列，．【2011北京理，12】12．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有（用数字作答）．【答案】．【解析】个数为．【2011北京理，13】13．已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则数的取值范围是．【答案】．【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）．【2011北京理，14】14．曲线是平面内与两个定点和的距离的

6、积等于常数的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线过坐标原点；②曲线关于坐标原点对称；③若点在曲线上，则的面积大于．其中，所有正确结论的序号是．【答案】②③．【解析】．①曲线经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么，与条件不符；②曲线关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处关于原点的对称点处也一定符合；③三角形的面积=．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011北京理，15】15．（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值．【解析】．（Ⅰ）因为所以的最小正周期为．（Ⅱ）因为，所以

7、．于是，当时，取得最大值；当取得最小值．【2011北京理，16】16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若，求与所成角的余弦值；(Ⅲ)当平面与平面垂直时，求的长．【解析】．（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.又因为PA⊥平面ABCD.所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.（Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则P（0，—，2），A（0，—，0），B（1，0，0），C（0，，0

8、）.所以设PB与AC所成角为，则.（Ⅲ）由（Ⅱ）知设P（0，－，t）（t>0），则，设平面PBC的法向量,则，所以令则所以．同理，平面PDC的法向量，因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0，即，解得，所以PA=．【2011