2011年最后冲刺题-立体几何（理科）

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1、2011年冲刺题理科立体几何试题1、如图，多面体中,两两垂直，平面平面，平面平面，.（1）证明四边形是正方形；（2）判断点是否四点共面，并说明为什么？（3）连结，求证：平面.（共面问题、线面垂直）1.解答：2、如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥的体积；（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．（线面关系、二面角求解、体积问题）解答：Ⅰ）证明：在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边．因为，，所以，所以．……………………

2、……………2分因为四边形为正方形，，所以，而，所以平面．…………………………………………………………5分（Ⅱ）解：因为平面，所以为四棱锥的高．因为四边形为直角梯形，且，，所以梯形的面积为．所以四棱锥的体积．……………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设平面的一个法向量为．则即令，则．所以．…………………………………………12分显然平面的一个法向量为．设平面与平面所成锐二面角为．则．所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．……………………14分3、它的正（主）视图和俯视图及有关长度如下

3、所示：3455俯视图正（主）视图侧（左）视图12ABCDABCDMN（1）.在方框内作出侧（左）视图，并标明最小的边的长度；（2）.求证：在该三棱锥的表面上存在一点P，使PA=PB=PC=PD；并指出点P的位置；（3）.若M、N分别为AD、CD的中点，求四棱锥B-ACNM的体积.（三视图、空间图形特征分析和几何体体积）第3题解答：3455俯视图正（主）视图侧（左）视图12ABCDABCDMN（1）如图所示；4分（作图：2分；数据：2分）（2）…………………7分EACDABAA4、如图，正三棱柱中，，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短．（1）证明：平面平面；（2

4、）求直线与平面所成角的余弦值．（侧面展开图、线面角）4解：（1）∵正三棱柱中，，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），从而，折线的长最短，当且仅当、、、四点共线，∴、分别是、上的三等分点，其中．…………………2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）连结，取中点，中点，连结、、．由正三棱柱的性质，平面平面，而，平面，平面平面，∴平面．………………………………………………4分又由（1）知，，∴四边形是平行四边形，从而．∴平面．而平面，∴平面平面．………………………8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面．…………………10分而平面，平面平面

5、，∴即为在平面上的射影，从而是直线与平面所成的角．……………………12分在△中，，，，由余弦定理，，即直线与平面所成角的余弦值为．…………………………14分（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：，，，．从而，，．…………………10分设平面的一个法向量为，则，所以，即，解之，得，………………………12分取，得，，∴．从而，即直线与平面所成角的正弦值为，∴直线与平面所成角的余弦值为．…………14分5．如图：已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是正方形，O1、O分别是上、下底面的中心，A1O⊥平面ABCD.

6、（1）求证：平面O1DC⊥平面ABCD；（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA1，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由.（面面垂直、线线垂直的条件探求、斜棱柱）证明：（1）连结AC、BD、A1C1则AC、BD的交点，O1为A1C1中点∴四边形ACC1A1为平行四边形，∴四边形A1O1CO为平行四边形…………2分∴A1O//CO1∵A1O⊥平面ABCD∴O1C⊥平面ABCD…………………………4分∵O1C平面O1DC∴存在点平面O1DC⊥平面ABCD……………5分（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC…………

7、…………6分过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF//A1O∵平面A1AO⊥平面ABCD∴EH⊥平面ABCD又BC平面ABCD∴BC⊥EH①∴HF//AB∴HF⊥BC，②由①②知，BC⊥平面EFH∵EF平面EFH∴EF⊥BC…………………………12分6、如图，直三棱柱中，，.分别为棱的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.（等积法、二面角、线面垂直的条件探求）解：（1）如图所示，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由可得，,,,.则，，设平面的法向量为得即则取法