人教版高中数学必修5教案及学案(含答案)1.1正弦定理

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1、第一章解斜三角形学校:临清二中学科:数学编写人:刘会志一审:李其智二审:马英济1.1.1正弦定理(一)教学目标1.知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2.过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。3.情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体

2、现事物之间的普遍联系与辩证统一。(二)教学重、难点重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点:正弦定理的推导即理解(三)学法与教学用具学法:引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系:,接着就一般斜三角形进行探索,发现也有这一关系;分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导,让学生发现向量知识的简捷,新颖。教学用具:直尺、投影仪、计算器(四)教学过程1[创设情景]如图1.1-1,固定ABC的边CB及B,使边AC绕着顶点C转动。A思考:C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系?显然,边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来?CB2[探索研究](

3、图1.1-1)在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在RtABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有,,又,A则bc从而在直角三角形ABC中,CaB(图1.1-2)思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析)可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:如图1.1-3,当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义,有CD=,则,C同理可得,ba从而AcB(图1.1-3)思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这

4、个问题。(证法二):过点A作,C由向量的加法可得则AB∴∴,即同理,过点C作,可得从而类似可推出,当ABC是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导)从上面的研探过程,可得以下定理正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即[理解定理](1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k使,,;(2)等价于,,从而知正弦定理的基本作用为:①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如;β②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如。一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。3[例题分析

5、]例1.在中,已知,,cm,解三角形。解:根据三角形内角和定理,;根据正弦定理,;根据正弦定理,评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2 如图,在ΔABC中,∠A的平分线AD与边BC相交于点D,求证:ABCD证明:如图在ΔABD和ΔCAD中,由正弦定理,得,,ABCDβα1800α两式相除得五巩固深化反馈研究1已知ΔABC已知A=600,B=300,a=3;求边b=() :A  3   B2CD(2)已知ΔABC已知A=450,B=750,b=8;求边a=()A8B4C4-3D8-8(3)正弦定理的内容是————————————(4)已知a+b=12B=450A=600则则则a=--

6、----------------------,b=------------------------(5)已知在ΔABC中,三内角的正弦比为4:5:6,有三角形的周长为7.5,则其三边长分别为--------------------------(6).在ΔABC中,利用正弦定理证明六,课堂小结(有学生自己总结)七板书设计略五[课堂小结](由学生归纳总结)学校:临清二中学科:数学编写人:刘会志一审:李其智二审:马英济1.1.1正弦定理学案【预习达标】在ΔABC中,角A、B、C的对边为a、b、c,1.在RtΔABC中,∠C=900,csinA=,csinB=,即=。2.在锐角ΔABC中,过C做CD

7、⊥AB于D,则

8、CD

9、==,即,同理得,故有。3.在钝角ΔABC中,∠B为钝角,过C做CD⊥AB交AB的延长线D,则

10、CD

11、==,即,故有。【典例解析】一新课导入,推导公式(1)直角三角形中(2)斜三角形中正弦定理是Xkb1.com例1.在中,已知,,cm,解三角形。例2 如图,在ΔABC中,∠A的平分线AD与边BC相交于点D,求证:ABCD【达标练习】1.已知ΔABC已知A=600,B=300,a=3;求边

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