高中数学 1.1正弦定理教案 新人教版必修5

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1、1.1 正弦定理教学目标:1.掌握正弦定理及其证明,能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题;2.通过对任意三角形的边长和角度关系的探索,培养学生的自主学习和自主探索能力;3.提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣.教学重点:正弦定理及其证明过程.教学难点:正弦定理的推导和证明.教学过程:一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算.测量河流两岸两码头之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等,所有这些问题,都可以转化为求三角

2、形的边或角的问题,这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系.探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系,在Rt中,设,那么边角之间有哪些关系?,,,,,,,,,……探索2 在Rt中,我们得到,对于任意三角形,这个结论还成立吗?二、学生活动把学生分成两组,一组验证结论对于锐角三角形是否成立,另一组验证结论对于钝角三角形是否成立.学生通过画三角形、测量长度及角度,再进行计算,得出结论成立.教师再通过几何画板软件进行验证(如图1).对于验证的结果不成立的情况,指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的.引出课题——正弦定理.图1三、建构数学探索3 这个结论对于任意三角形

3、可以证明是成立的.不妨设为最大角,若为直角,我们已经证明结论成立,如何证明为锐角、钝角时结论成立?师生共同活动,注意启发、引导学生作辅助线,将锐角、钝角三角形转化为直角三角形,进而探索证明过程.经过讨论,可归纳出如下证法.证法一 若为锐角(图2(1)),过点作于,此时有,,所以,即.同理可得,所以.(1)      图2       (2)若为钝角(图2(2)),过点作,交的延长线于,此时有,且,同理可得.综上可得,结论成立.证法二 利用三角形的面积转化,先作出三边上的高、、,则,,.所以==,每项同时除以,得探索4 充分挖掘三角形中的等量关系,可以探索出不同的证明

4、方法,我们知道向量也是解决问题的重要工具,因此能否从向量的角度来证明这个结论呢?在中,有,设为最大角,过点作于,(图3),于是,设与的夹角为,则,其中,当为锐角或者直角时,;当为钝角时,.故可得,即.同理可得.因此.这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式,我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理.bacBDAC图3探索5 这个式子中包含哪几个式子?每个式子中有几个量?它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题?三个式子:,,.每个式子中都有四个量,如果已知其中三个可求出第四个.正弦定理可以解决两类三角形问题:(1)已知两角与任一边,求其他两边和一角(两角夹一边

5、需要先用三角形内角和定理求出第三角,再使用正弦定理);(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).四、数学运用例题在中:(1)已知,,,求,,;(2)已知,,,求,,;(3)已知,,,解这个三角形.解 (1)由正弦定理得,即,因此  所以  ,或.由于  故   也符合要求,从而本题有两个解或.   ①当时,,.   ②当时,.(2)由正弦定理得,即所以,或.由于,故不符合要求,从而本题只有一解,.(3)由正弦定理得,所以无解.学生思考:已知三角形的两边和其中一边的对角,为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢?巩固练习:1.(口答

6、)一个三角形的两角和边分别是和,若角所对边的长为8,那么角所对边的长是.2.(板演)在中:(1)已知,求,;(2)已知,求,.3.(板演)根据下列条件解三角形:(1),,(2),,五、回顾小结本节课同学们通过自己的努力,发现并证明了正弦定理.正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系,其关系式和谐、对称.它可以解决斜三角型中这样的几类问题:已知三角形中两边与一边的对角,可求另一边的对角,进而求出其他的边和角;已知三角形中的两角与任意一边,可求出其他的边和角;已知三角形中两边与它们的对角这四个元素中的两个元素,可研究出另外两个元素的关系.六、课外作业课本P10习题1

7、.1第1,2题.

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